まず「y=f(x)上の点を代入して得られた式なので
結局y=f(x)を表す」は、気のせいです
そもそも、図形の式に点の座標を代入したものは、
もとの式自体を表しません
たとえば直線y=x+1があって、その上に点(1,2)があります
もとの式y=x+1にx=1, y=2を代入した式は2=1+1です
少なくとも、この2=1+1という関係式が
もとのy=x+1そのものを表すわけではありません
あくまでX,Yの関係式を求めれば終わりです
これが求めるべき、移動後の図形の式です
代入によってx0,y0が消え、X,Yの関係式が出たので、
これが求める図形の式です
数2の軌跡での媒介変数を消去するのと考え方的には近いかんじなのでしょうか？
上で述べた通りで、X,Yの関係式だから、
点(X,Y)が載っている曲線の式です
むしろ「x0,y0がy=f(x)上の点だから移動前のグラフ」
という考えの方が、根拠がありません
感覚的にそのような気がする、というのは
わからなくもないですが、そこには理屈がありません
x0、y0はy=f(x)上の点なのになぜ移動後のグラフになるのでしょうか。