Question

りー

数Ⅱ黄チャート基本例題85、PR85で質問です
どちらも3点を通る円の方程式を求めよという問題なのですが、基本例題とPRで解き方が違うので、使い分けがあるのかを知りたいです。
また、授業では基本例題の解き方しかやっていないので、PRの解き方も解説してほしいです。
長くなりましたがよろしくお願いします🙇

0
本 例題 85
円の方程式の決定 (2)
00000
3点A(3,1),B(6, 8), C(-2,-4) を通る円の方程式を求めよ。
p.138 基本事項 1
141
CHART & SOLUTION
3点を通る円の方程式
一般形 x2+y2+x+my+n=0 を利用
① 一般形の円の方程式に, 与えられた3点の座標を代入
2 1,m,nの連立3元1次方程式を解く。
基本形を利用しても求められるが, 連立方程式が煩雑になる。
垂直二等分線の利用
3
求める円の中心は, ABC の外心であるから, 線分AC, BC それぞれの垂直二等分線の
交点の座標を求めてもよい。
12
解
求める円の方程式を x2+y2+lx+my+n=0 とする。
点A(3, 1) を通るから
←一般形が有効。
32+1+37+m+n=0
点B(6, -8) を通るから
62+(-8)2+61-8m+n=0
点C(-2, -4) を通るから (-2)^(-4)2-21-4m+n=0
整理すると
31+m+n+10=0
61-8m+n+100=0
2
円と直線,2つの円
21+4m-n-200
これを解いて
l=-6,m=8, n=0
(第1式)+(第3式)から
1+m-2=0
(第2式) + (第3式) から
21-m+20=0
よって 3/+18=0 など。
よって, 求める円の方程式は x2+y^2-6x+8y=0
[別解 △ABCの外心Dが求める円
の中心である。
yA A
/②
0
x
線分 AC の垂直二等分線の方程式は
中心D
C
3
=-x-
線分ACの
すなわち y=-x-1・・・・・・ ①
線分 BC の垂直二等分線の方程式は
B
傾き1
y+6=2(x-2)
すなわち y=2x-10
②
①,②を連立して解くと
x=3,y=-4
線分 BC の
中点 (2, -6),
よって, 中心の座標はD(3,-4),
傾き - 12
半径は AD=1-(-4)=5
ゆえに求める円の方程式は
(x-3)2+(y+4)²=25
RACTICE 85Ⓡ
②
3点 (4-1) (6, 3), (-3, 0) を通る円の方程式を求めよ。

中心がx軸上にある円
1) 中心と原点の距離は √32+(-4)2=5
これが半径に等しいから, 求める円の方程式は
(x-3)+(y+4)=25
(2)中心とx軸の距離2が半径に等しいから、求める円の方程
式は
(x-1)+(y-2)=4
32点 (1,4) (5,6) を結ぶ線分の中点が円の中心となる。
(1154+6)
x軸に接する→
|中心のy座標」=(半径)
中心は直径の中点。
その座標は
2
すなわち (35)
半径は、中心 (3,5) と点 (1, 4) の距離であるから
√(1-3)2+(4-5)²=√5
◆半径は中心と端点の
距離。
よって, 求める円の方程式は
(x-3)2 +(y-5)²=5
別解 2点 (1,4) (5,6) を直径の両端とする円の方程式は
(x-1)(x-5)+(y-4)(y-6)=0
整理して
x2+y2-6x-10y+29= 0
(4) 中心がx軸上にあるから,その座標を (4,0) とする。
2 2,1) (1,2) から, 点 (α,0)へのそれぞれの距離が等
しいから
√(a-2)2+(0-1)=√(α-1)+(0-2)2
両辺を2乗して整理すると
a=0
本冊p.140
INFORMATION 参照。
答えは一般形でもよい。
x軸上の点であるから,
y座標は0である。
[inf. 半径を として
(x-a)2+y^2=r2 に通る
2点の座標を代入しても
よい。
よって、 半径は √(0-2)+(0-1)=√5
ゆえに、求める円の方程式は
x2+y2=5
PR
3点 (4-1) (63) (30) を通る円の方程式を求めよ。
②85
求める円の方程式を x2+y'+lx+my+n=0 とする。
点 (4, -1) を通るから
42+(-1)+41-m+n=0
HINT 3点を通る→
一般形を利用する →
方程式に座標を代入
整理すると
4l-m+n+17= 0
①

108円 数学Ⅱ
点 (6, 3) を通るから
整理すると
62+32 +61+3m+n=0
6l+3m+n+45=0
点(-3, 0) を通るから
整理すると
(-3)2 +02-31+0m+n=0
-3l+n+9=0
③
4)
③から n=31-9
④①に代入して整理すると 7l-m+8=0
よって m=71+8 ・・・・・・ (5)
④ ⑤ ②に代入して整理すると
301+60=0 ゆえに
このとき, ⑤から m=-6
④から n=-15
l=-2
よって, 求める円の方程式は x2+y²-2x-6y-15=0
PR
次の円の方程式を求めよ。
③86
12点 (02), -1, 1) を通り, 中心が直線 y=2x-8 上にある。
(2) (2,3) 通り, y軸に接して中心が直線 y=x+2 上にある。
(3) 点 (42) 通り, x軸, y 軸に接する。
[HINT (1) 中心の座標は (t, 2t-8) と表される。
(2)条件から,中心の座標は (t, t+2), 半径はと表される。
(3) 中心の座標は(t,t), 半径はt(t>0) と表される。
(1) 中心が直線 y=2x-8 上にあるから,その座標は
(t, 2t-8) と表される。
2点 (02) (1,1) から点 (t, 2t-8) へのそれぞれの距
離が等しいから
t_0)2+(2t-8-2)=√(t+1)+(2t-8-1)2
両辺を2乗して整理すると-6t=-18

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

例題（本解）とPRはまったく同じやり方です
例題の解き方がわかるなら、PRも解けるはずです

りー

例題は３本の式を連立方程式で解きますが、PRは式を変形して代入しているので、それがわからないなと思いました…。
基本例題と同じ方法でやると答えが合わなくて…

和

それは計算ミスですね

連立は結局文字を減らして解きます
その過程がほんの少し異なるだけで、大差ありません
どれでもできます

りー

移項で符号を間違えるとは!!(・・;)
ありがとうございます!!
③の式を変形するのは座標が(-3,0)でmがなく、２つの文字で表せるから、という解釈で大丈夫ですか？

和

①でも②でもできますが、
③を変形するのが最も簡単だからです
最も簡単な理由はその通りで、mがないからです