Question

キト

数学A、円の問題で、定義についてお尋ねします。
「弦ABに対する円周角が120°であるような弓形の弧上の点P」ですが、∠PBA=0°、60°のときは含まれますか？
私はこのとき弦ABしかないため円周角が定義できず「弦ABに対する円周角が120°であるとはいえない」と考えているのですが、解説ではその場合を考え場合分けしています。

回答よろしくお願いします。

50 長さ αの弦 AB に対する円周角が120°であるような弓形の弧上の点を
P とする.Pがこの弧 (両端を含む)の上を動くとき, 3AP+2BP の最大値
と最小値を求めよ.
(滋賀大)

50【解答】
(i) P≠A,B の場合
P
∠PBA=0 (0<0 <60°) とおき, 三角形 PAB に正弦
定理を用いると,
120°
01
A
B
=
AP
sin sin (60°-0)
BP
AB
sin 120°
2a
√√3°
2a
2a
. AP=-
sin 0, BP=
sin (60°-0).
...①
√3
√√3
(ii) P=A の場合は 0=0°,P=B の場合は 0=60° とみれば ① は成り立つ.
2a
2a
3AP+2BP-3-
sin 0+2.
sin (60°-0)
√√3
√3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

含まれるとも含まれないともいえますかね
感覚としては含まれないでしょうからこそ、
場合分けをしています

円周角が定義されるかされないか以前に、
そもそも問題文に
「Pがこの弧（両端を含む）の上を動く」とあるので、
PはAやBと一致する場合についても考えなくてはなりません

よって、答案で、PがAやBに一致する場合どうなるか、
にまったく言及しないようであれば、まずいです

模範回答に納得いかなければ、
別途3AP+2BPの値を求めてみればよいです
P=Aの場合、3AP+2BP = 2a
P=Bの場合、3AP+2BP = 3a
ですが、これらは①でθ=0°ないし60°
としたときと同じ結果です
つまり、P=AやBの場合は、①に組み込めます
（組み込まずに場合分けしたまま
最大値を求めにいってもいいです）

これにより、模範解答のように
PがAに一致する場合をθ=0°、
PがBに一致する場合をθ=60°とみなして、
その場合も①が成り立つ、
ということを確認するのも、
別におかしくないことがわかります

キト

確かに両端を含むと言われているなら、含まれるとして記述しておくのが妥当そうですね。
丁寧に解説してくださりありがとうございます。