Question

あかね

解説を見てもよくわからなくて……
これのやり方を教えてください🙇⋱

84
243 双曲線2=1と直線 y=mx+2の共有点の個数を調べよ。 ただし, m
241
22
は定数とする。

3
sx+1x
・1,y=mx+2
243x2y2=1
......
②①に代入すると x (mx+2)²=1
-
整理すると (1-m2)x2-4mx-5=0
+
[1] 1-m²≠0 すなわち m≠ ±1のとき
②
(3
xの方程式③は2次方程式となるから, 2次
方程式 ③の判別式をDとすると
D =(-2m)-(1-m²)(-5)=-(m²-5)
4
D0 のとき
-(m²-5)>0

すなわち
-√√5<m<√5
m≠±1であるから
-√5<m<-1, -1<m<1,
1<m<√5
D=0のとき
-(m²-5)=0
すなわち
m = ±√√√5
D<0 のとき
-(m²-5)<0
すなわち
<-√5,√5<m
したがって, 双曲線 ① と直線 ②の共有点の
個数は,次のようになる。
-√5<m<-1, -1<m<1,1<mく√5
のとき 2個
m=±√5のとき
1個
m<-√5,√5cm のとき
0個
[2]1-m2=0すなわちm=±1のとき
xの方程式③は1次方程式となり,この方程
14m
5
式を解くと
x=-
したがって, 双曲線 ① と直線 ②の共有点の
個数は
1個
[1], [2] より, 双曲線 ① と直線②の共有点の個
数は,次のようになる。
-√√5<m<-1, −1<m<1, 1<m<√√5
のとき 2個
m=±1, ±√5のとき
1個
m<-√5,√5cmのとき
0個
20

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Mackarel

ステップに分けて解説します。

> 直線の式の代入
共有点（交点）では双曲線の点の条件と、直線の点の条件が両方成り立ちますので、連立方程式になります。
すでに y が x の式で表されているので直線の式を双曲線の式に代入すれば、共有点の式が出ます。

> 判別式
共有点の式がxの二次方程式なので、これを満たす実数解の個数が変わってきます。
ご存じの通り D>0 なら 実数解は 2つ、 D=0 なら重解、D<0 なら実数解はありません。
この式の解は「共有点の x が満たす条件」なので、実数解の数がそのまま共有点の数となります。
（もっというと y = -mx +2 が y = f(x) と関数なので、2つ以上の異なる共有点が同じxを持つことはない、との条件付きです）