Question

み

32(3)について質問です。
下線部、a+bがpの倍数ならばa^2+b^2もpの倍数と言えるのはなぜですか？

32
素数
を3以上の素数, a, b を自然数とする. ただし, 自然数nに対し,
mnがp の倍数ならば, mまたはnはの倍数であることを用いてよい。
(1)a + bab がともにかの倍数であるとき, αもの倍数であ
ることを示せ.
(2)a+bとα+62がともにかの倍数であるとき, aもの倍数
であることを示せ.
(3) α+b2a+bがともに の倍数であるとき,aとはともにゅの倍
(神戸大)
数であることを示せ.
精講
素数とは,
1とその数以外の正の約数をもたない2以上の整数
のことです.
具体的に素数は2,3,5,7,11, 13, 17, 19, ..のような整数です.
なお, 1もその数 (つまり1) 以外に正の約数をもちませんが, 1は素数の仲間
に入れません.
2以上の整数は,素数を用いて,
nk
~
Di71.p272 ・p373kkkは異なる素数で, nk は自然数
の形に表すことができます. これを素因数分解といいます。
たとえば,300 は
300=22.31.52
というように素因数分解することができます.
しかし、素数』は素因数分解してもっとなるだ
けです.つまり, 素数は,もうこれ以上素因数に
分解できない整数ということもできます。
解法のプロセス
整数a, b の積αbが素数の
倍数
2つの正整数a, bの積 abが素数の倍数で
あるとき αがの倍数またはbがの倍数
だといえます.
α または6がの倍数
(1)a+bがかの倍数であるから,
a+b=pl (lは自然数)
と表すことができる.
解答
......①
けがの倍数である.

a = pa' (a' は自然数)
と表すことができ,これを①に代入すると,
pa'+b=pl
よって, b=p(l-a')
l-α' は整数であるから,ももかの倍数である.
(bがかの倍数のとき, (i) と同様に, αもの倍数である。
(i), (ii)より, aとはともにかの倍数である.
(2) (a+b)²=(a2+62) +2ab より
2ab=(a+b)-(a²+b²)
......②2
ここで,a+b,a2+62 はともにの倍数であるか
②の右辺はかの倍数である.
したがって, 2abはかの倍数である.
ところが
ab はか
3以上の素数であるから,
の倍数だといえる.
よって,(1)より, aとはともにの倍数である.
(3)+6= (a+b){ (a+b2)-ab}
が成り立つことに注目する.
a+bが素数の倍数であるから, a+b
問
a+b=pm, a²+b²=pn
(m,nは整数)
と表すことができるので
(a+b)2-(a+b2)
= p(pm²-n)
m²-nは整数であるから、
(a+b)2-(a2+62)は力のを
数である
2a6つまり2abは素数が
倍数であるから, 2または
がpの倍数である.しかし、
2は3以上の素数であるが
倍数ではないので,abが
の倍数だとわかる
または, (a2+62) - αb がかの倍数である.
(i) a+bがの倍数のとき, ' + 62 と a + b が の倍数であるから,(2)より
aとbはともにの倍数である.
1,000
(i)(a2+62)- ab がpの倍数のとき, α2+b2 と (a2+62) -αbがかの倍数で
ることから, ab はpの倍数である.
(a+b)2=(a2+62)+2ab であり,a+b2abがぁの倍数であるから、
(a+b)2 はかの倍数であり, かは素数であるか
ら, a+bはかの倍数である.
a + b と abがかの倍数であるから,(1)より,
αとはともにの倍数である.
(i), (i)より,aとbはともに』の倍数である.
(a+b) つまり (a+b)と
imm
(a+b) の積が素数の借
であるからa + b または
m
a+bpの倍数である。
たがって,a+bはpの制
といえる
回ら

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

(3)問題文に書いてます🙇

み

すみません。
ありがとうございます。