Question

くま

この話で、それぞれの（）がなぜ成り立つかと、なぜそれらが必要かはわかりました。しかし、最後に集合として一致するとありますが、この流れからどうやって集合の話に繋げているのかわかりません。

8 第9章 整数の性質
応用問題 1
正の整数 α, 6 に対して, a をbで割った商をg,余りを とする.つ
まりなわれ
a=bq+r
が成り立つとする。このとき,以下が成り立つことを示せ.
(1)aとbの公約数をd とすると,dはとの公約数でもある.
(2)の公約数を d' とすると,d' はaとbの公約数でもある。
(3)aとbの最大公約数とbとの最大公約数は一致する.
精講
ユークリッドの互除法の 「核」 となるp336 の (*) を証明してみま
しょう.考え方としては,「αと6の公約数」と「6との公約数」
が(集合として)一致することを示そうというものです。それがいえれば当然,
それぞれの最大公約数も等しいといえます。
解答
(1)a ともの公約数がdであるから,
a=dA, b=dB (A, B は整数)
とおける.このとき
r=a-bg=dA-dBq=d(A-Bq) dx (整数)
なので,rdの倍数である。(bもdの倍数でもあるので)はもとの公
約数である.
(2)6の公約数がd' であるから,
b=d'B',r=d'R (B', R は整数) I-ef
とおける.このとき
a=bg+r=d'B'q+d'R=d' (B'q+R) d'x (整数)
berony
なので、 αはd' の倍数である。 (もd の倍数でもあるので,) d' はαとも
の公約数である.
3) (1),(2)より「α と6の公約数」 は 「brの公約数」 と(集合として)
致する. したがって, それぞれの最大公約数も等しくなるので、題意は示せ
た。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

「集合」という表現自体は、
カッコ付きで書いてあることからもわかるように、
必要な表現ではありません
「集合」という言葉があることでわかりにくければ、
ここではそれを読み飛ばして読んで差し支えありません

あくまで公約数が一致する
（たとえばaとbの公約数が{1,2,3,6}なら、
　bとrの公約数も{1,2,3,6}である）
ということをいいたいだけです

(1)で「aとbの公約数⇒bとrの公約数」が示せて、
(2)で「bとrの公約数⇒aとbの公約数」が示せたので、
aとbの公約数⇔bとrの公約数、つまり
2つは一致するということが主旨です

くま

ありがとうございます。理解できました。