Question

星光

次の問題の青線がよくわからないのですが何故その様に変形されるかどなたか解説お願いします🙇‍♂️

91 a, b を定数とする。 f(x) =
ax+b
x+x+1'
g(x) = x-2x-x+2 とする。 すべての実数xで
g(f(x)) ≧0 が成り立つような点 (a, b) の範囲を図示せよ。
(京都大)
g(f(x)) ≥0
...
・① とおくと
{f(x)}-2{f(x)}-f(x)+2≧0
{f(x)-1}[{f(x)}-f(x)-2]≧0
{f(x)-1}{f(x)-2}{f(x)+1}≧0
よって, すべての実数xで① が成り立つための条件は,すべての実数
xで -1≦f(x) ≦1 ・② または 2 ≦ f (x) ... ③
が成り立つことである。
ただし, f(x) は連続な関数であるから, ② ③のいずれか一方のみが
成り立つ。
(ア)
すべての実数xで②が成り立つ条件を考える。
(f(x)の分母)=x'+x+1=(x+1/2)
=(x+1/+1/4>
2 3
>0であるから,②は
-(x²+x+1)≦ax+b≦x²+x+1
これは
x2+(a+1)x +6 +1 ≧ 0 かつx-(a-1)x-6+10
すべてのxでこれらの不等式が成り立つための条件は,
2次方程式 x+(a+1)x+6+1=0, x-(a-1)x-6+1=0 の判
別式をそれぞれ D1, D2 とすると D1 ≦ 0, D2 ≦0
②の各辺に
x + x + 1 > 0 を掛ける。
不等号の向きは変わらな
い。
よって
D1 = (a+1)2-46 + 1) ≦ 0 より
6≧/1/(a+1)°-1
D2 = (a-1)2-4(-6+1)≦0 より
6 ≦
b=-1/2 (a-1)°+1 ... ⑤
(イ) α = 0 のとき,どのようなもに対しても十分大きなxにおいて
f(x) <2 となる。 また, a≠0 のとき, どのような6に対しても
b
x=-
a
のとき(-6)=0
6)=0であ
るから,すべての実数xで③が成り
立つことはない。
(ア)(イ)より, すべての実数xで
b=/(a+1)-1
46
f(g(x)) ≧0 が成り立つような点
(a, b) の範囲は, 右の図の斜線部分。
ただし,境界線を含む。
・1
b=-1(a-1)2+1
a
2つのグラフの交点は
(√3, 3/4).
(-1, -12/28)である。
-√3,

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

　f(x)＝Ｐとすると

{f(x)}³－2{f(x)}²－f(x)＋2≧0　は

　Ｐ³－2Ｐ²－Ｐ＋2≧0　となり、これを解くと
　(Ｐ－1)(Ｐ²－Ｐ－2)≧0
　(Ｐ－1)(Ｐ－2)(Ｐ＋1)≧0
　(Ｐ＋1)(Ｐ－1)(Ｐ－2)≧0　から
　－1≦Ｐ≦1，2≦Ｐ

Ｐ＝f(x)と戻すと
　－1≦f(x)≦1，2≦f(x)　と

　青線の部分になります

つまり、
　f(x)に関する3次不等式を解いた結果です

星光

理解できました！有り難う御座います！