Question

星光

次の問題で解説全体の操作自体は理解したのですがこの問題を解ける人はこの問題を見た時に何をしようと思うのでしょうか？この問題の思考プロセスをどなたか解説お願いします🙇‍♂️

255 中心が第1象限にありx軸に接している円 C が, 点A(a, a2) (a>0) で放物線 C2: y = x2 に
も接している。
(1)円の中心の座標と半径を求めよ。
(2) a = 12 のとき, C, 放物線 C およびx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。(名古屋大)
(1)円の半径をr (r>0) とおくと,

円 G はx軸に接しているから,中心の
座標はC(b,r) (60) とおける。
円 C は放物線 2 と点A(a,d) で接し
ているから
よって
CA=r
(a-b)+(a2-7)² = 2 ・・・①
また, y=x より y'=2x
ゆえに, 点Aにおける接線の傾きは
2a
接線とCAは直交するから
A(a,a²)
A
H
C(b,r)
三平方の定理により
AH² + CH² = AC²
よって
(a-b)²+(a-r)² = 72
S= xdx+(台形ABDC) (扇形 CAD)
1 11
+
+
24 24 4
(2-√2
2)}/(2-1)
-{1/(2-2)}×
135°
AB=1/11
CD =
(2-√2),
|BD=12(V2-1),
360°
扇形CADの中心角は135°
1
1
2+(4/2-5)-0(3-2/2)=
1
96
(12/11)-(3-2/2)m
よって
②
-2a(a-r)=a-b
①に代入すると
{-2a(a²-r)}²+(a² − 1)² = 7²
4a² (a² − r)² + (a² − r)² = 72
a²
2a = -1
a-b
... ②
(接線の傾き) × (CAの傾
き)=-1
を消去する。
p.430 Let's Try! 15
次の定積分を求めよ。
(1) L(3x²
(3x+6x-5)dx
(4a²+1)(a²-r)² = 22
(x-4|-x+3)dx
-r>0であるから
√√4a²+1(a²-r) = r
これより
(点Aのy座標)> (点C
のy座標)
1
(1)
r =
=
-(4a²+1-√√4a²+1)
分母を有理化する。
(3x2+6 dx = 2√² (3x²-5)dx
a²√4a² +1
√√4a²+1+1 4
また② より
b=a+2a(a-r)
-
= a+2a{a² — — — (4a² + 1−√ 4a²+1)}
= //(1+√4m² +1)
したがって, 中心Cの座標は
(121(1+44 +1), // (Am² +1-4m+1))
1
半径は r =
(40°+1-√4a+1)
(2) a=
12 のとき,(1)より
^(1/11) 1/2(1+√2) 1/2(2-2)),r=1/2(2-√2)
点A, 点Cからx軸に下ろした垂線をそれぞれAB, CD とし, 点C
から線分ABに下ろした垂線をCHとすると
B(1, 0). D((1+√2), 0).
H((2-√2))
よって
AH=CH=
(√2-1)
ゆえに, AHCは∠AHC=90°
∠HCA=45°の直角三角形である。
よって, 求める面積Sは
13
C2
HA
C₁
-1)
C
45°
BD x
H
C
(√2-1)
(2) x4=(x+2)(x-2) よ
2,2≦x)
-(x²-4) (≤ x ≤2)
x²-4
|-4|=
よって
Lil
2ndx = 2
x2ndx
=2√²x²
x21dx = 0
2-4|-x2+3}dx
=∫{(x-4)-x+3}dx+{{-4)+3}dx
--f dxf (-2x)dx-f dx
=
--[x],+2[-2 +7x]-[+]
16
=(-2+3-18
+14)-(4-2)
43
4)x +3}dx
-3≤x≤4TH,
x=2,x=2が境界と
なる。
L-
(-2x²+7)dx
= 2√² (-2x² +7) dx
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

以下の様に思い付きました。
・x軸に接する半径rの円の方程式：(x-c)²+(y-r)²=r²
　点(a,a²)を通る：(a-c)²+(a²-r)²=r²・・・➀
・y=x²と円は点(a,a²)で接する：接線の傾き2a、法線の傾き-1/2a
　法線は円の中心(a,a²)を通る：y=-1/2a・(x-a)+a²
　法線は円の中心(c,r)を通る：r=-1/2a・(c-a)+a²・・・➁
➁から(c-a)=-2a(r-a)であり、➀に代入(cを消去)するとrが求まります。
（解説と少し異なっていましたが概ね同様と思います）
ーーーーー
実は、上記の➀と➁までは、すぐに思い付きましたが、
計算が面倒そうで、解がきれいな形にならない気がしたので、
（自信がなかったので）方針変更し、添付画像の様に三角形の相似で求めました。
結局、きれいな形にならなかったのですが正解でほっとしました。

GDO

誤植訂正

法線は円の中心(a,a²)を通る：y=-1/2a・(x-a)+a²
→法線は(a,a²)を通る：y=-1/2a・(x-a)+a²

星光

理解できました！有り難う御座います！