基本例題の方では、互いに素でない⇔素数を公約数にもつ、と書かれてあるのですが、Exercisesの方の問題では、公約数gが素数と書かれてありません。なぜなのか教えて欲しいです🙏
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|基本例題 121 互いに素に関する証明問題 (2) 000
自然数 α, bに対して, aとbが互いに素ならば, a + b と abは互いに素である。
ことを証明せよ。
p.525 基本事項
2 重要 121
a+b abの最大公約数が1となることを直接示そうとしても見通しが立たない。
そこで,背理法(間接証明法)を利用する。
→a+b と ab が互いに素でない, すなわち, a+bとαbはある素数」を公約数
にもつ,と仮定して矛盾を導く。
なお、次の素数の性質も利用する。 ただし,m, n は整数である。
mn が素数 』 の倍数であるとき,またはnはかの倍数である。
1 最大公約数が1を導く
CHART 互いに素であることの証明
背理法 (間接証明法)の利用
a+b と ab が互いに素でない, すなわち, a + b と αbは
解答ある素数を公約数にもつと仮定すると
とnが互いに素で
ない
a+b=pk
D, ab=pl ②
と表される。 ただし, k, lは自然数である。
......
mnが素数を
公約数にもつ
② から, α または は の倍数である。
α
a=pmとなる自然数がある。
の倍数であるとき,
=
1
このとき,①から,b=pk-a=pk-pm=p(k-m) となk-mは整数。
りもの倍数である。 (I+\)8=8+18=8+ (I+s)=(
これはaとbが互いに素であることに矛盾している。(+0)
Ict
bがpの倍数であるときも,同様にしてαはの倍数であa=pk-b
り,aとbが互いに素であることに矛盾する。
=pk-m')
したがって, a+bとabは互いに素である。)=+
( ' は整数)
参考 前ページの基本例題120 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」は,整数
の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。
問題 素数は無限個存在することを証明せよ。
[証明]
2以上の自然数とする。 +1は互いに素であるから, n=n (n+1) は異な
る素因数を2個以上もつ。
同様にして, n=n(n+1)=ni(n+1) (n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。
「この操作は無限に続けることができるから,素数は無限個存在する
素数が無限個存在す
4章
EX
E [数学と人間の活動
408 数学 A
a+b2=(2m+1)+(2n+1)^
=(4m²+4m+1) + (4m²+4n+1)
=4(m²+n²+m+n) +2
'+b=cとすると
c2=4(m²+n+m+n) +2
よって
c2=2{2(m²+n+m+n)+1} ...... ②
ゆえに
cは偶数である。
は偶数であるから,
よって,c=2k (kは整数) と表されるから ② より
4k²=2{2(m²+n+m+n)+1}
すなわち 2k2=2(m²+m²+m+n) +1
③
ここで,③の左辺は偶数, 右辺は奇数であるから, 矛盾。
ゆえに
他方は奇数である。
のうちの一方は偶数で、
←③は (偶数)=(奇数)
となっている。
よって,'+62は奇数であるから, ①よりも奇数であり,
cも奇数となる。
(2) [1] αが偶数, bが奇数, c が奇数の場合
a=2α′, b=2m+1, c=2n+1
('は正の整数, m, nは0以上の整数)
←(1) の結果から,[1], [2]
の2つの場合に分けられ
る。
と表される。
整数kについて
が偶数
kが奇数
が偶数
が奇数
が成り立つ。これは証明
なしに用いてもよい。
3a+b と 5α+26が互いに素でないと仮定すると
と表される。
①-②から
3a+b=gm, 5a+2b=gn...... 2
(m,n,g は自然数, g≧2)
g(2m-n)=a
2m-n は整数であるから, gはαの約数である。
2×3-DX55
g(3n-5m)=6
3n-5m は整数であるから, gは6の約数である。
したがって, gはaとbの1以外の公約数となり,aとbが互
いに素であることに矛盾する。
よって、3a+b5a+26 は互いに素である。
EA
92
(1)+2n+1の公約数は1または5に限ることを示せ。
←背理法
数学A 40
←bを消去する。
消去する
(2)(1)を用いて,n+2と+1が1以外に公約数をもつような自然数n をすべて求めよ。
(12)を参考にして, 2n+1と+1が1以外に公約数をもつような自然数 n をすべて求
めよ。
(1)等式n2+1=(n+2) (n-2)+5.
①が成り立つ。
[神戸大
ゆえに,n2+1とn+2の公約数は,n+2と5の公約数に一致 ←a=bg+rが成り立つ
よって
a²-4a24
また,①から
d2=c-b2=(2n+1)-(2m+1)2
④ ⑤から
α=n²+n-m²-m
すなわち
ここで, n(n+1),m(m+1) は連続した2つの整数の積であ
るから, 偶数である。
+=+1
よって, α は偶数であり, d も偶数である。
・
ゆえに,α(=2α′') は4の倍数である。
[2] αが奇数が偶数, c が奇数の場合も, [1] と同様にして
=4(n²+n-m²-m)...... ⑤⑤ を更に変形すると
α'=n(n+1)-m(m+1)+
2=4(n+m+1)(n-m)
また α2 について
nの偶奇が
ゆえに,m,
α^2=(n+m+1) (n-m)
別解等式 '+
n+2と2
と表さ
b-a
した
とき
の公約数と,
する。
5 の約数は 15であるから, n2+1 と n+2の公約数は1また
は5に限る。
との公約数は一致す
る。
が成り立つ。
一致するとき, n-mは
偶数となる。また,m,
の偶奇が一致しないと
bが4の倍数であることが示される。
き, n+m+1が偶数と
なる。このことを利用し
てもよい。
に
(2) n
したがって, a, bのうち1つは4の倍数である。
EX 2つの自然数αともが互いに素であるとき, 3a+bと5α+26も互いに素であることを証明せよ
③91
2 数A, B の最大公約数を (A,B) で表すと
5a+26=(3a+b)・1+2a+b
3a+b=(2a+b)・1+α,
ゆえに
2a+b=a2+b
[山口大]
(5a+26,3a+b)=(3a+6,2a+b)=BQ+R のとき
=(2a+b,a)=(a,b)
よって, a, b の最大公約数と5a+26, 3a+b の最大公約数は一
致する。
したがって,aとbが互いに素であるとき, 3a + b と 5α +26 も
互いに素である。
(A,B) = (B, R)
も
ありがとうございます！！！