Question

tan_ⅰ

176(3)別解の線が引かれているところを教えてほしいです
Z^kがx^7=1の解となるのはなぜですか？

176. <1の7乗根〉
2π
z = COS
7
+isin 27 (iは虚数単位)とおく。
17
①z+2+2+2+2+2 を求めよ。
(2)a=z+z2+ 24 とするとき, α+α, aa およびαを求めよ。 ただしはαの共役
複素数である。
() (1-2) (1-22) (1-2) (1-2) (1-2) (1-2) を求めよ。
[16 千葉大・理系]
必解 177. 〈方程式の解, w=f(z)の表す図形〉
iは虚数単位とする。
(1) 方程式 ^= -1 を解け
(2) αを方程式 24=1 の解の1つとする。 複素数平面に点βがあって
|z-Bl=√2|z-α| を満たす点z 全体が原点を中心とする円Cを描くとき, 複素
βをαで表せ。
(3)点z (2) 円C上を動くとき,点iとzを結ぶ線分の中点wはどのような図形
描くか。
•
[15 鹿児島大 理

(3) B=(1-z)(1-2)(1-2) とおくと,
(2)の結果を利用し, βの値を求める。
pp
21=cos2n+isin2π=1
よって, 21-1=0 から (z-1)(2+2+2+2+2+2+1)=0
(1) ドモアブルの定理から
zº+z³+z¹+z³+z²+z+1=0
2+2+2+2+2+2=-1
z1 であるから
ゆえに
(2)|z=zz=1であるから=1
Z
ゆえに,k=1,2, ......, 6 に対し
2" --(4)---2
=
が成り立つ
よって
a=z+z+z=2+2+2=2+2+2
a+α=(z+2+2+2+2+2)=2+2+2+2+2+2
=-1
aa = (z+z²+z*)(z+z³+z³)
+2+2+2+2

よって
B=√7i
したがって、 求める値は
k
BB=(-√7i)√7i=7
別解 (k=1, 2,......, 6) は,方程式
x=1 すなわち (x-1)(x+x+x4+x3+x2+x+1)=0
の解である。 特に k = 1, 2,..., 6 のとき z≠ 1 で, 各 2 はす
べて異なるから
x+x+x4+x3+x2+x+1
=(x-z)(x-z2)(x-23)(x-z4)(x-25) (x-2)
これに x = 1 を代入して
27
2. 6056
(1-2) (1-22) (1-2) (1-24) (1-25) (1-2)
=1+1+1+1+1+1+1=7
2+
4人
Os
177 〈方程式の解, w=f(z) の表す図形〉
2.
2' cs b

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

(1)よりz⁷=1です

x⁷=1においてx=zᵏ(k=1,2,…,6)を代入します
(左辺)=(zᵏ)⁷=(z⁷)ᵏ=1ᵏ=1=(右辺)
よってx=zᵏ(k=1,2,…,6)はx⁷=1の解です

tan_ⅰ

理解出来ました！ありがとうございます！