2次不等式の問題で、因数分解・解の公式・判別式・平方完成で解かなきゃいけないんですが、この4つの見分け方が全然分かりません...（因数分解は何となくわかりました！）
ある問題を平方完成でやってみて、それっぽい答えは出たんですが、解答を見たら答えが違っていて解答は判別式で解いていました...
まったく見分け方がわからなくてもうすぐテストなのに困っています💦どなたか教えてくれると嬉しいです、、🙇🏻♀️よろしくお願いします！
回答
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以降説明に関して、以前僕が書いたノート
https://www.clearnotebooks.com/ja/notebooks/1611177
も参考にしてほしいです。
判別式はグラフとx軸の位置関係を教えてくれる便利な道具ではあります。しかし、あくまで「x軸と2点で交わる」「x軸と1点で接する」「x軸とは交わらない」というのを教えてくれるだけで、具体的にどこの点で交わっているのかを教えてくれるわけではありません。逆に、平方完成をすれば、頂点の座標を具体的にいくつか知れるし、因数分解をすれば、x軸との交点の座標を具体的に知ることができます。
例えば2次不等式①
x²-4x+3≧0
を解くことは、2次関数
y=x²-4x+3
が
y=0（即ちx軸）
よりも上側にあるようなxの範囲を求めることと同じ意味です。したがって、この2次不等式を解きたければx軸との交点を求めれば良いことになるので、先の説明と照らし合わせれば因数分解すればよいということになります。つまり
y=(x-1)(x-3)
であるから、1と3が交点と求まるので、それより上側の部分はx≦1, 3≦x
となります。
このように、基本的に2次不等式を解く場面では、因数分解することになります。
しかしながら、
2次不等式②
x²-2x+3≧0
はそれでは解けません。因数分解できないからです。因数分解できない理由は添付のグラフを見れば当たり前で、x軸と交わらないからです。つまり、常にx軸より上側にあるから、答えとしてはすべての実数となります。
このような、グラフがx軸と交わらない場合に、模範解答ではいきなり判別式を使って、「グラフがx軸より上側にあるので」のように書いていると思います。しかし、僕は2次不等式を解くのに判別式は使いません。なぜならば、判別式は何度も言うように「交わるかどうか」しか教えてくれないわけで、交わると分かったら結局は因数分解することになるからです。それなら二度手間なことはせず、最初から因数分解すればいいのです。それでうまくできなければ、判別式か平方完成を使って、交わるかどうかを確かめればよいのです。
今は練習で色んな2次不等式を解いているかもしれませんが、2次不等式をこれから先、問題の中で実際に使うような場面では、①のように因数分解できるパターンがほとんどです。そうじゃないとあんまり問題として意味がないからです。
補足
x軸とグラフの交点を求める方法は因数分解と書きましたが、それは1と3のように綺麗な2つの解を持っている場合が多いので分かりやすくそう書いただけです。2次方程式を解くという意味なので、当然x²-2x-4=0のようにx軸と2点で交わるけど因数分解できないケースでは解の公式を使うことになります。（中3のときに、2次方程式で因数分解できなければ解の公式を使えと言われたと思います。）
丁寧に説明してくれてありがとうございました！
すごくわかりやすいです！がんばってみます！
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なるほど！
すごくわかりやすいです！！
もう一度がんばってみます！
ありがとうございます🥹