Question

りの

高校数2の問題です。この2問が解けないので教えて欲しいです。

21 A(-1,0), B1,
0) とする。
(1) 次が成り立つことを示せ。
y 1
P
点Pが ∠APB=90° を満たすならば点P
は原点を中心とする半径1の円上にある。
A
B
-1
0
1x
(2) 次が成り立たないことを示せ。
点Pが原点を中心とする半径1の円上に
あるならば点Pは∠APB=90° を満たす。

Answer 1

GDO

(1)P(x,y)とする（三平方の定理）
AP²=(x+1)²+y²、BP²=(x-1)²+y²
∠APB=90°ならば、AB²=AP²+BP²を満たすから、
AB²=AP²+BP²
⇔ 2²=(x+1)²+y²+(x-1)²+y² 整理すると
⇔ x²+y²=1
よって、Pは原点を中心とする半径1の円周上のどこかに位置している。
-----(補足)-----
(1)の解答は、これで終了で良いのですが、もっと正確に示すと、
Pが(1,0)、(-1,0)のときは∠APBを定義できませんので、
Pは(1,0)、(-1,0)以外の円周上にあることが分かります。

*****
(2)点Pが原点を中心とする半径１の円周上にあるとき、(1)の補足の通り、
∠APB=90°を満たさない場合（Pが(1,0)、(-1,0)のとき）があります。
よって、
点Pが原点を中心とする半径１の円周上にあるからといって、
∠APB=90°を満たすとは限らない。

*****
（参考）必要条件・十分条件
A(=1,0)、B(1,0)のとき、
・X：∠APB=90⁰である
・Y：Pは原点を中心とする半径１の円周上にある
とするとき、「XならばY」であるけれど、「YならばX」ではない。
という問題になっています（「Y⇔X」ではない）。