Question

理

微分法の接線の問題です。
写真2枚目の右上の「a≠0は極値をもつための条件」とありますが、なぜa=0だと極値を持つことができないのでしょうか？問題でa＞0という条件がそもそもあるからだとしても、なぜわざわざa≠0と書いているのか分かりません！
教えて頂きたいです！🙇‍♂️

96 接線の本数
曲線 C:y=-x上の点をT(1,ピー1)とする。
〇 (1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2) 点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a, bのみたす関係式
を求めよ。ただし,a>0, b≠α-a とする.
(3)(2)のとき、2本の接線が直交するようなα, bの値を求めよ。
精講
のパターン
3次関数のグラフに引ける接線の本数は,接点の個数と一致し
ます、だから,(1)の接線に A(a, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが,このときの
考え方は 95 注で学習済みです.
3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。
で
1つは(2)で求めてあるので, あと1つですが,それが 「接線が直交する」
を式にしたものです。 接線の傾きは接点における微分係数(84) ですから、
2つの接点における微分係数の積 = -1 と考えて式を作ります.
解答
(1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t-t)=(3-1)(x-t)
y=(3t2-1)x-2t3
(2) (1) の接線はA(a, b) を通るので
6=(3t2-1)a-213
2t-3at2+a+b=0 .....(*)
(*) が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t3-3at2+a + b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち,
(極大値)×(極小値) =0であればよい,
g(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
186
(t,t³-t)
A(a,b))
95注
R!!

153
Ja=0
lg(0)g(a)=0
Ja +0
[(a+b)(b-a+α)=0
b≠a-a,a>0 だから,a+b=0
(3) (2) のとき (*)より, t2(2t-3a) = 0
3a
a0 は極値をもつ
ための条件
2本の接線の傾きはf(0), f (32) だから,直交する条件より
ƒ'(0) ƒ (3a)=-
(-1)(27 a²-1)=-
2
8
a²==
27
a>0より,a=
2√6
2√6
b=-
9
9
参考
ポイント
3次関数のグラフに引ける接線の本数は
接点の個数と一致する
実は, 3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ
とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で
す
3次曲線Cの変曲点 (89)における接線をと
するとき
・斜線部分と変曲点からは1本引ける
・Cと上の点(変曲点を除く) からは2本引ける
・青アミ部分からは3本引ける
2
C

Answer 1

らい

t=0とt=aで極大、極小としたいので、a=0としてしまうと２つの極値を持たなくなってしまいます