Question

絶対合格

どうして②が実数解をもつことがtの範囲につながるんですか？？

腰例題
122 2変数関数の最大・最小 (4)
xyがx+y=2を満たすとき, 2x +yのとりうる値の最大値と最小値を一
よ。また、そのときのx, yの値を求めよ。
[類 南山大〕 基本101
条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x'+y=2から文
字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうま
くいかない。
そこで,2x+y=tとおき, tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
→2x+y=t を y=t-2x と変形し, x2+y2=2に代入して」を消
去するとx2+ (t-2x) =2となり, xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0 の利用。
CHART 最大・最小 = t とおいて,実数解をもつ条件利用
見方をか
八える
203
2x+y=t とおくと
y=t-2x
①
これをx2+y2=2に代入すると
x2+(t-2x)2=2
整理すると
5x2 -4tx+t2-2=0
......
このxについての2次方程式② が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると
D≧0
D
ここで
=(-2t)2-5(2-2)=-(2-10)
4
参考 実数a, b, x, y に
ついて,次の不等式が成り
立つ(コーシー・シュワル
ツの不等式)。
(ax+by)(a+b²)(x²+y²)
[等号成立は ay=bx]
この不等式にα=2,6=1
を代入することで解くこと
もできる。
D≧0 から
t2-10≤0
これを解いて -√10 ≤t≤√10
✓もの範囲!
-4t_2t
t=±√10 のとき,D=0で,②は重解x=-
2.5
を
5
のとき, ② は
±√10
もつ。=±√10 のとき
2/10
x=±
5
①から
√10
y=±
(複号同順)
5
よって
210
10
x=
y=
のとき最大値 10
5
x=-
2/10
5
10
y=-
のとき最小値10
5x2 +4√10x+8=0
よって
(√5x=2√2) 20
ゆえに
x=±
2√2 2√10
√√5
・=土・
√10
① から y=± 5
(複号同順)
5
5
としてもよい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

これはよい質問ですね
ただ答えるのは少し難しいです（私には

②:5x² -4tx +t²-2 = 0
が実数解xをもつような実数tの値の範囲を求めるのが目的です
つまり、実数tがある値のときは②が実数解xをもち、
実数tがまたある値のときは②が実数解xをもたないわけです

言い換えると、
②が実数解xをもつ条件を求めることで、
その実数解xに対応する実数tを求めることができます
これこそがtのとりうる値の範囲です

絶対合格

なるほどーー！！！！めっっちゃ納得しました！！
ほんとにありがとうございます✨✨