Question

チナミ

数IIの微分の問題についてです。
次の2つの微分の仕方が分かりません。公式があるんだろうな、と思いましたがそれも分からず…

(1)y=(x+2)²(xｰ1)
(2y=x(xｰa)²

答えを見てみたら少し分かるところもあって、例えばy=(◽︎+○)²とかだったら、f'(x)=2(◽︎+○)×1=2(◽︎+○) となることは分かります。

少し長くなってしまいましたが、解説をお願いいたします。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

例えば(x²+1)³のような、関数〇³の中に関数(x²+1)が埋め込まれているような関数(合成関数)は、
　(外側の微分)×(内側の微分)
で計算できます。
　{(5x²+1)³}’ = 3(5x²+1)² ･ (5x²+1)’
　　　　　= 3(5x²+1)² ･ 10x
　　　　　= 30x(5x²+1)²

この簡単な場合が、内側が単にx+aの場合で、x+aを微分すると1ですから、通常の微分とほぼ変わらず計算できます。これがチナミさんの例ですね。
　{(x+3)²}’ = 2(x+3)･1

また、
(x²+3)(2x+1)のような関数の積の微分は、
　(前のみ微分)+(後ろのみ微分)
で計算できて、
　{(x²+3)(2x+1)}’
　= (x²+3)’(2x+1) + (x²+3)(2x+1)’
　= 2x･(2x+1) + (x²+3)･2
となります。

これらを用いると、
(1)y’ = {(x+2)²}’(xｰ1) + (x+2)²(xｰ1)’
　　 = 2(x+2)(x−1) + (x+2)²･1
(2)y’ = x’(xｰa)² + x{(xｰa)²}’
　　 = 1･(x−a)² + x･2(x−a)
となります

これらは理系であれば数3で学習しますが、もし数2までしかやらないのであれば、この程度の問題は展開してから微分しても大して手間が変わらないので、無理して覚えなくてもいいかなと思います

チナミ

丁寧な解説ありがとうございます。
文系なので展開してから微分で攻略できればと思います。
ただ、やはり途中でこんがらがってしまいそうです💦何回も練習して慣れるように頑張ります！