Question

みえ

高校生数学図形と方程式です。
下の写真の問題なんですが、なぜ急に定数kが出てくるのか、どうしてこのように解くのかがわかりません😢
どなたかわかりやすく解説して欲しいです！

例題
41
研究 2つの円の交点を通る円
2つの円x2+y2-4x-6y=0, x2+y2-4x+6y=0の2つの交点と点
(2, 1) を通る円の方程式を求めよ。
→教p.96 研究
考方
次の方程式は、2つの円x+y2+bx+my+n=0,x2+y2+1x+my+n=0
の2つの交点 A, B を通る円,または直線を表す。
k(x2+y2+bx+my+n)+(x2+y2+lx+m'y+n)=0
[1] kキー1のとき 2点A, B を通る円(x+y2+bx+my+n=0を除く)
[2] k=-1のとき 直線AB: (Z-L)x+(m-m^)y+(n-n')=0
解答を定数として, 方程式
k(x2+y2-4x-6y)+(x2+y2-4x+6y) = 0
... ①
を考えると,kキー1のとき, ①で表される円は2つの円の交点を通る。
① に x=2, y=1 を代入すると 9k+3=0
よって
1
これを①に代入して整理するとx2+y2-4x+3y= 0 答

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

図形f(x,y)=0とg(x,y)=0に対して、
　kf(x,y)+g(x,y)=0　(k:実数)
は2つの図形の交点を全て通る図形になります。

(証明)
ある点P(p,q)がf(x,y)=0とg(x,y)=0の交点だとすると、Pは図形f(x,y)=0上の点かつ図形g(x,y)=0上の点なので、
　f(p,q)=0　かつ　g(p,q)=0
よって、
　kf(p,q)+g(p,q)=k･0+0=0
となり、点Pは図形kf(x,y)+g(x,y)=0上の点です。
同様に全ての交点について、kf(x,y)+g(x,y)=0上の点であることが言えます

ただし、kf(x,y)+g(x,y)=0は、2つの交点を全て通る図形のうち、k=0とすれば図形g(x,y)=0は表せますが、f(x,y)=0は表せないことに注意してください

鯛のお造り

今回なら、kを用いて上の方程式を立てると、k≠−1のとき、元の2つ円の交点を通る円の方程式が出来るので、(2,1)を通るという条件からkを具体的に求めればOKです

みえ

ありがとうございます！