Question

都

高次方程式についての質問です。紫のアンダーラインを引いたω*2+ω+1=0には何故のこの式が成り立つのかの証明がなかったのに、ω*3=1は何故式の成り立ちが証明されているのでしょうか。二枚目は一問前の問題で、これには、性質についてまず証明しろと書いてあります。何故ω*2+ω+1=0は証明する必要がないのでしょうか？

1の3乗根の虚数のうちの
「解答
これから使う性質に
ついてまず証明して
おく.
*****
■よ.ただし,n は整数と
1
1)2-1 (岡山県立大改)
コ) = 0 より wはx=1 の解
例題 56
x'+x+1による割り算の
(1) a, b が実数, zが虚数のとき
を証明せよ.
a+bz=0 a=0 かつ b=0
3 高次方程式 119
****
(2)x+2x+3x²+5x-1をx²+x+1で割ったときの余りを求めよ.
考え方 (1) a+bz=0 a=0 かつ b=0 の証明は背理法を利用する。
(2)方程式+x+1=0の解をするとは虚数でww+1=0.ω=1 で
ある あわせて (1) の証明結果を利用して余りを求める。
(1)(i) a+bz=0a=0かつb=0を証明する
b=0 と仮定すると, a+bz=0 より z=-
a ……………① となる.
b
だから
ここで,a,bは実数より
も実数
とは
よって,
a=0
| 2004 3×668
ω=1 が利用でき
るように変形する
通分する
a+bz=0
q=0 かつ b=0
以上より,
a=0 かつ b=0
このようなときは
なっ
実数
(9)9
与式に代入できるよ
うな2種類の変形を
行う.
しかし、2は虚数であるから、①の成立には矛盾がある。
b=0
b=0 を a+bz=0 に代入すると
したがって, a, b が実数, z が虚数のとき.
よくいくとは限らな
a+bz=0は明らかに成り立つ
が虚数のとき
a+bz=0a=0 / b=0=
(2)x+2x3+3x²+5x-1 を2次式x'+x+1で割ったときの商をQ(x),余り
1次以下の多項式mx+n(m,nは実数) とすると,(土)1
x+2x'+3x²+5x-1 = (x2+x+1)Q(x)+mx+n
.....①
方程式 x'+x+1=0の解をωとすると, ω は虚数で。。
ω'+w+1=0である。 ①の両辺にx=w を代入すると,
+2ω°+3ω°+5ω-1=(ω^+w+1)Q(ω)+mw+n
ここでω-1=(ω-1) (ω'+ω+1)=0 より
また,
=1
e=e=e④しいにきたから、今はどの
ω'+w+1=0 より ω=-ω-1 ...... ⑤
ずは (w+1)24-1
考える.
-1は奇数より
2-1-1
を使えるよう
よって、②は,③~⑤より,
- を分ける.
で整理すると,
(n+2)+(m-3)w=0
17+18
とする.
練習
2
3
第2章
w+2×1+3(-w-1)+5w-1=mw+n
ここで,m,nは実数であるから, n+2m-3も実数, また, は虚数
したがって,(1)の結果から, n+2=0,m-3=0
つまり、
m=3.n=-2
報によって、 求める余りは, 3x-2
(1)x100-1 を x'+x+1で割ったときの余りを求めよ.
56 (2)x+ax+bx+cx-1で割り切れるとき,実数a,b,c の値を求めよ.
*****

118 第2章 高次方程式
****
例題 55
1の3乗根 w
-1+31
W=-
2
する.
(1) 2005
とするとき、次の式の値を求めよ. ただし, n
(3)(1+ω-ω^)(1-w+w²)
1
+
(2)1+
1
W
は整数と
(4) w+1+(w+1)2"-1 (岡山県立大改)
考え方 w は x+x+1=0 の解であり, x-1 = (x-1)(x²+x+1)=0より, wはx=1の解
でもある.つまり,1の3乗根は, 1, w w なので, wは1の3乗根の虚数のうちの
1つである. (w≠1 であることに注意する.)
これから使う性質に
ついてまず証明して
「考
解
-1+√3i
解答
W=
より2w+1=3i
2
両辺を2乗して,
(2w+1)=3i
4ω°+4w+1=-3
おく.
したがってω'+w+1=0
また,ω-1=(-1)(ω'+w+1)=0 より
w=1
(1)
(2) 1+ +
(3) ω'+w+1=0 より,
1+ω=-ω°,
よって,
ww
(1+w-w)(1-w+ w²)
m
=(-ω^ω^)(-ω-)
=-2ω°×(-2ω)=4ω=4
(4) ω'+w+1=0 より,
w+1=-ω^
したがって,
2005=2000Xw=(ω3)68xw
=x=w=
1 w²+w+1 20
W W² W²
-1+√3i
2
るように変形する。
通分する
1+ω=w
与式に代入できるよ
mmm
うな2種類の変形を
行う.
2004=3×668
1 が利用でき
(ω+1)2"''=(-ω^)2"-1=(-1) 2"-1X2(2m-1)
=(-1)Xω^2=-13 (月-1) Xw" +1
=-(3)"1.0"+1=-W"+1.
よって,ω'+'+(ω +1)2" '=ω"+1ω"+1=0
まずは (ω+1)24-1
を考える.
2-1は奇数より
(−1)2"-'=-1
=1 を使えるよう
に2を分ける.
Focus
公式
w³=1, ω'+w+1=0
練習
55
***
(1)x10 虚数解の1つをωとするとき、次の式の値を求めよ.
(ア) 'ω'+1
=-1-√3i
(2) w=
2
(イ) 1+w+w+wtwtw++w" + w
とするとき、次の式の値を求めよ. ただし, n は整数とする。
(7) (w²-w+1)³
(13) w" + w² + w³n
(イ)(1−ω)(1−ω^)(1−ω^) (1-ω^)
練習
練5
56
****

高次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

x²+x+1=0の虚数解をωとするとω²+ω+1=0
なのは当たり前です
代入して成り立つのが解なので

当たり前だから↑だけで十分説明になっています

x-3=0の解はx=3だから、
xに3を代入した式は成り立つはずで3-3=0です
これと同じです

都

x²+x+1=0の虚数解をωとするとω²+ω+1=0
なのは当たり前　確かにそうですね。忘れてました。回答ありがとうございます！