Question

りり

演習9(3)の解説が始まる前の文章に「分母がnの1次式で探せばよい」とありますが、なぜ2次式ではなくて1字式なのでしょうか。

an+1+(n+
よって, an+n+1=2"-1 (a,+1+1)=3.2-1
∴an=3.2"-1-n-1
(2) an+1=44-2 +1 を 4n+1で割って,
an+1
an
4n+1
4"
-(/)+1
an
bm ==
b=3,
とおくと, b1=441=1,bm+1=0,-(1/2)"となるので,n≧2のとき,
n-1
bm
n-1
k=1
bn=b₁+ (br+ - br) = 1 − ( )*()*
\k+1
=1-
【(2)
f(
を問目
2
=1/12/11-(1/2)^2}=1/2+(1/2)(n=1のときもこれでよい)
よって, an=4b64"{/12+(1/2)"}
=2.4"-1+2"
=
【別解】 (2) an+1+A・2n+1=4 (an+A・2") を満たす A を求める.
an+1=4an+4A2"-A2n+1=4a+A2"+1 と条件式を比べて, A= -1.
Qn+1-2n+1=4(an-2")より, {am-2"}は公比4の等比数列.
よって, an-2"=4"-1 (α1-21)=2.4n-1
..an=2.4"-1+2"
9 演習題(解答は p.75)
Cn
こ
次の式で定められる数列の一般項 an を求めよ.
-
(1) a1=2, an+1=3an+2n²-2n-1 (n≥1)
-
- (2) α=1, an+1-2am=n.2n+1 (n≧1)
(岐阜
(日本獣医畜産
+ (3) a1= 1, an+1=
1
n-1
zan+n(n+1)
(n≧1)
( 岐阜大・教
64
項
(+212)

3
10 n(n+1) (2n+1)-2/2n(n+1)+n
=ln(4(n+1)(2n+1)-9(n+1)+6}
=n (8n²+3n+1)
■ 4円を年利率で1年間借りると, 利息がar で,
高は元金と利息を足して, a (1+r) となる. 返済があ
ば,ここから引く.
ak とすると,=A
毎回の返済金額を円とし, k回目の返済後の残
に対して
ak+1=(1+r) ak-エ
[a=(1+r)α-xよりα= であり]
9 (1)と(3)は, an+1+f(n+1)=k(an+f(n))
の形に変形するのがよいだろう. f(n)について, (1)
nの2次式 (3) は分母がnの1次式で探せばよい.
(2)は2n+1で割ると階差型に帰着される.
解 (1) an+1+A(n+1)2+B(n+1)+C
=3(an+An²+B+C)・
が与式と一致するように, 定数A, B, C を定める.
①を変形して,
an+1=3an+3An2+3Bn+3C
-A(n+1)2-B(n+1)-C
=3an+2An²+ (2B-2A) n-A-B+2C
与式 an+1=3an+2n2-2n-1と係数を比較して,
2A=2, 2B-2A=-2, -A-B+2C=-1
これを解いて, A=1, B=0, Co
よって, ① は,
①
ak+1
1-2 = (1+r) (ar-7)
I
a=(1+r)*(-)
ak
an=(1+r)* ( A −2 ) + 2
=0より.0(1+(A-1)+
∴{(1+r)"-1} ==(1+r)"A
r(1+r)"A
x=
(1+r)"-1
*
解答では漸化式を立てたが,次のように立式できる.
毎回の返済額を1円とし, 1+r=Rとおく。
各年の返済後の残高は,
1年目: AR-π
2年目: (AR-π) R-π
3年目: ( (AR-ェ) R-x) R-I
n 年目は
((((AR-x)R-x)R-x)) R-x
[R, æはn個ずつ]
=ARI (R-1+R-2+... + R+1)
=AR"-
x(R"-1)
R-1
これが0になるので
&
an+1+(n+1)2=3(an+n2)
an+n2=3.3n-1=3n
これより, {an+n2} は等比数列で,公比 3,
初項α+12=2+1=3なので, 一般項は,
2-(1)
AR"-.
x(R"-1)
R-1
=0
AR"(R-1) _A(1+r)"r
H=
-=
R"-1
(1+r)"-1
+1)(n+2)
..an=3"-n2
(2) an+1=2an+n.2n+1 の両辺を2n+1で割ると
an+1
an
+n
D
2n+1 2n
an
2n
bn= とおくと b1=
a1 1
bn+1=bn+n
21 2'
であるから n≧2のとき,
n-1
n-1
k=1
b=b1+(bk+1-bk)=b1+2k=
1 1
k=1
2
+ n(n-1)
よってα=2"-1(n-n+1) (n=1でも正しい)
A
(3) an+1+
a++1(+)
が与式と一致するように, 定数Aを定める.
①を変形して,
A(-n+1)
2n(n+1)
よって 1
A
A
1
an+1= zan+ 2n
n+1
2 ant
与式 +1
1
n-1
ant
2
n(n+1)
と比較して,
A
∴A=-2
2
よって, ① は,an+1-
2
1
2
n+1
an
2
これより,
an-
{0.2} は等比数列で公比 12.初項
n
1-1-2-1.一般項は、4-242-(1/1)
=1-2=-1, 一般項は, an
2 1\n-1
n

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

別に分母n(n+1)でやってもできるとは思います
やってみました？

aₙ₊₁+f(n+1)=k(aₙ+f(n))とおいたらf(n)を特定するために
展開して整理してもとの分数をつくるわけですが、
その過程で、通分して、
もとの分母2次ができることが想定される点、
左辺にn+1の式、右辺にnの式をおく点から、
A/(n+1)とA/nをおいてみるのは自然なことかと思います