Question

ぴいぴい

高一整数の証明の単元です。
この問題の証明方法が分かりません。どなたか解答解説いただけるととても助かります。よろしくお願いします。

094
≪整式についての余りの問題≫
mnを整数とするとき, 次のことを証明せよ。
立
□(1)を3で割った余りは0または1である。
□(2) n²+n+1は2の倍数でない。
□ (3) n2を4で割った余りは0か1である。
□ (4) m, nを3で割ったときの余りが1であるとすると, m+nを3で割った余りは2, mnを3で割った余りは1で
ある。

整数 証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

ぴいぴい様
すべて「余りで分類」のパターンです。
(1) どんな整数 n も n=3k , 3k+1 , 3k+2 のいずれかで表せる。(k：整数)　←この一文は「決まり文句」なので暗記です
(ⅰ) n=3k のとき　n²=(3k)²=9k²=3・3k²+0　よって、n² を 3 で割った余りは 0.
(ⅱ) n=3k+1 のとき　n²=(3k+1)²=9k²+6k+1=3(3k²+2k)+1　よって、n² を 3 で割った余りは 1.
(ⅲ) n=3k+2 のとき　n²=(3k+2)²=9k²+12k+4=3(3k²+4k+1)+1よって、n² を 3 で割った余りは 1.
以上(ⅰ)〜(ⅲ)より、n² を 3 で割った余りは 0 または 1　■
(2) どんな整数 n も n=2k , 2k+1 のいずれかで表せる。(k：整数)　　以下略　■
(3) どんな整数 n も n=4k , 4k+1 , 4k+2 , 4k+3 のいずれかで表せる。(k：整数)　　以下略　■
(4) 題意より m=3k+1 , n=3l+1 と表せる。(k,l：整数)
このとき、
　m+n=(3k+1)+(3l+1)=3(k+l)+2　よって、m+n を 3 で割った余りは 2 .
　mn=(3k+1)(3l+1)=9kl+3k+3l+1=3(3kl+k+l)+1　よって、mn を 3 で割った余りは 1 .
ゆえに、m+n を 3 で割った余りは 2、mn を 3 で割った余りは 1 である。■
となります。

ぴいぴい

ありがとうございます😭🙇‍♀️