18 2次不等式 すべての』について…
次のの不等式の解がすべての実数となるような, 定数の値の範囲を求めよ.
(m+1) mx²+2mx+m-1<0
(東北福祉大, 改題)
グラフを活用する 解の配置と同様に, グラフを活用しよう.
「2次関数f(x)=ax2+bx+c (α0) がすべての実数ェに対してf(x) <0 を満たす」… (*)
ということをy=f(x) のグラフを利用してとらえると,
(*)
「放物線y=f(x) がx軸 (直線y=0)の下側にある」
⇔「放物線y=f(x) が上に凸で,かつェ軸と共有点をもたない」
a<0,D<0
⇔
α < 0, かつ, f (x)=0 の判別式D<0」
「2の係数
となる.
/y=f(x)
H
なお, a=0のときは, f(x) =bx+c (直線)であり,このときつねに
f(x) <0となる条件は,傾きが0で切片が負であること,つまり
「 b = 0 かつc<0」
である. (f(x)が負の値を取る定数関数であることが条件)
「解答量
f(x) = (m+1)mx²+2mx+m-1 とおく.
m=-1のとき, f (x)=-2x-2となり不適である.
・m=0のとき,f(x) =-1となり適する.
.m≠-1,m≠0のとき, つねに f (x) <0となる条件は,
0
H
y=f(x)
「すべてのェに対してf(x) <0」
とはならない.
う
(m+1)<0かつ, 2次方程式f(x)=0の判別式D<0 グラフが上に凸
が成り立つことである.
(m+1)m <0により, -1<m<0
D/4=m²-(m+1)m(m-1)=m{m-(m+1)(m-1)}<0
①により, m-m+1) (m-1)>0
①
..m²-m-1<0
1-√√5
1+√5
1-√5
よって,
<m<
であり, ①とから,
<m<0
2
2
2
2-11-15
1+√5
<0<
2
以上により, 求める範囲は,
1-√√5
21
<m≤0
注
「f(x) =ax2+bx+c (a≠0) がつねに正」
⇔「α>0,かつ, f(x) =0の判別式D<O」
+
注 関数 f(x) が最大値をとるとき,
「f(x) がつねにf(x) <0」 ⇔ 「f(x) の最大値<0」
である. この考え方で, f (x) =ax2+bx+c (a≠0) がつねに負となる条件
を求めてみよう. まず, 4 <0 でなければならず,このとき,
a>0, D<0
y=f(x)
f(x)=a(x+2)²= b²-4ac
の最大値は
4a
b2-4ac
-4a
であるから, 最大値 <0b2-4ac<0 (∵
よって, その条件は, a < 0 かつ62-4ac < 0
-44> 0)
←D=b2-4ac であるから, 前文の
条件と同じ.
18 演習題 (解答は p.62)
そう1回
ぱぱっと
すべての実数x,yに対して2-2 (α-1)xy+y2+(a-2)y +1≧0が成り立つような
の範囲を求めよ.
(阪南大)
まず1文字を固定し, 別
の1文字だけを動かす.
51
直線を分離っていうのは、こんな形のことにすることを想像して書きました💦
でもこの直線も二次方程式も私にはグラフの描き方がわからないなって思って💦