Question

なな

1番最初を含め、全体的にわからないです、、😭
細かい補足などを教えて欲しいです。

重要 例
放物線y=x+αと円 x+y=9 について、次のものを求めよ。」
(1)この放物線と円が接するとき、 定数αの値
円の
(2)異なる4個の交点をもつような定数αの値の範囲
接点 重解
指針 放物線と円の共有点についても、これまで学習した方針
共有点実数解
で考えればよい。
この問題では,x を消去して, yの2次方程式 (y-a)+y2=9の
実数解 重解を考える。 放物線の頂点はy軸上にあることにも
注意。
(1)放物線と円が接するとは,円と放物線が共通の接線をも
一つことである。 この問題では, 右の図のように, 2点で接する
場合と1点で接する場合がある。
(2) 放物線を上下に動かし, (1) の結果も利用して条件を満たす
αの値の範囲を見極める。
(1) y=x2+α から
(y-a)+y2=9
000
1点で
<接する
2点で接する
また、
ま
y=
定ま
定1
(1)
(2)
xを消去すると、
次方程式が導かれる。
x2=9-y2≧0でゆえに -3≦y≦3...... ②
[2]
a=-30+
x2=y-a
解答
これをx2+y2=9に代入して
よって
y2+y-a-9=0
①
ここで,x2+y2=9から
[1] 放物線と円が2点
で接する場合
37
[1] a=-
4
YA
YA
2次方程式 ①②の
範囲にある重解をもつ。
よって、 ①の判別式を
Dとすると D=0
3
3
-3
13
O
3-
0
-3
/3
3
37
a=3
D=12-4.1 (-a-9)
=4a+37
37
であるから
4a+37=0 すなわち α-
4
1
このとき、①の解は y = 2
==
となり,②を満たす。
[2] 放物線と円が1点で接する場合
図から,点 (0, 3), (0, -3) で接する場合で α=±3
37
以上から、 求めるαの値は
a=-
±3
(2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは、右の図から、
2次方程式
by2+qy+r=0の
重解は y=-1
2p
頂点のy座標に注目。
[参考
ゆえ
のグ
g(y)
(1)
榎
D
放物線の頂点 (0, a)が,点 (0,-27) から点 (0-3)!
37
(2)
3
-3
を結ぶ線分上(端点を除く)にあるときである。
37
したがって
-
<a<-3
練習
[③] 10[4]

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

よし

まず、共有点をもつということは言い変えると実数解を持つこといいます。そうすると、問題文で与えられた式の連立方程式が実数解を持つ条件を調べる問題に帰着できますが、今回の場合だと円が絡んできてるので方程式で考えるのは大変です。では、どうすれば良いのかというと共有点を考えるために図形的に考えます。
まず、(1)についてですが、接する時とあります。文字通り放物線をスライドさせて円との交わりを考えます。その際aの値に注意して下さい。この時注意⚠️しなくてはいけないのは必ずしも接点は1つであるわけではないのとそういった場合は一つとはかぎりません。スライドして確かめて下さい。
次に(2)についてです。(1)ができれば自ずと分かると思います。問題文通りスライドさせて4個の場所を探せばいいだけです。
以上大まかに説明するとこんな感じになります。こういった共有点を聞いてくる問題についてはまず共有点の個数を実数解の個数に色変えることが大事なのと今回の場合は放物線をスライドさせる問題でしたが、スライドでは難しい問題もあります。どちらをつかえば良いのかをしっかりと見極めればポイントが分かると思います。他になにか分からなかったら質問して下さい。