Question

りり

(イ)で、AかBを原点に並行移動させて三角形の面積を求める方針で解こうとしました。
しかしPのy座標を出すのがとっても面倒で解答の解き方にしました。
並行移動させて面積を求める方法でとかない理由はこんなところでしょうか？

2円が互いの外側にあるとき, 0,02=5>3+r
r<2
0202>3により, C が C2 を含むことはなく, C2がCを含むとき,
0.02=5<r-3 .. r>8
以上により,(0<) <2またはr>8
(イ)この円をCとすると,
P2>
C: (x+1)+(y-3)²=20
-B (-1,3)
により中心はB(-1, 3), 半径はr=2√5
直線AB と円Cとの交点のうち, Aに近い
方をP1, 遠い方をP2 とすると, APはP=P1
のとき最小, P=P2のとき最大となる.
P
P10
r=2√5
XA
(7,-3)
ここで,AB=(-1-7)2+(3+3)2=10であるから,
最小値は, AP1=AB-r=10-2√5, 最大値は,AP2=AB+r=10+2/5
C上のP2以外の点は, A を中心
とする半径 AP2の円の内部にあ
るので,最大値は AP2 である.
・08 演習題(解答は p.102)
(ア) 座標平面上の3つの円 C1, C2, C3 は, それぞれ中心が (0, 0) (03) (4,0),
半径が1, r2, rであり,どの2つの円も互いに外側で接しているとする. このとき,
(1) 1,727 の値を求めよ.
(2) C1, C2 C3 のそれぞれと互いに外側で接しているとき,円Cの半径
と中心の座標 (a, b) を求めよ.
(ア) 円の半径と中心間
(イ) ABを底辺と見た
ときの高さの最大・最小
円の中心を補助にし
(宮崎大工)
の距離に着目する.
(イ) 2点A(3, 1), B(1,4)と,円 (x-1)2+(y+2)=4がある. この円上を動く点
コー
最大値は
+√
である.
(慶大・薬)
てとらえる.
P と, A, B とでできる ABPの面積の最小値は [
87

地
から.
図の網目部の直角三角形に着目すると,
AB=2√r2d2=2√1-d
これが3のとき, 4 (1-d°)=3
d2=1/4
ここで, 直線 AB の方程式は,
半径は2であり, 中心をC (1,2) とおく.
Cから直線ABに垂線 CH を下ろすと,んの最小値は
図のh1, 最大値はんである.
3
3
(k+1)2 1
((1)
>gに
4k2=2の
持ちのセント!雨の税合
3×4×2=13×6+5×7+4xa)×2
8 (ア) 2円が外接する条件は,
.. 8k+3=0
.
k=-
y=-1/(x-3)+1
8
∴.3x+2y-11=0
よって, CH=
| 3.1+2 (2) 11 |
√32+22
12
であるから,
13
(2円の半径の和) = (中心間の距離)
と と ABP の面積の最小値と最大値は,
C
の
......3
12
h₁ =
√13
--2. 最小値は 12/2/13h=6-√13
a
12
(イ) ABを底辺と見たときの高さ, つまりPと直線
AB の距離の最大・最小を考えればよい これを円の中
心を補助にしてとらえる.
(ア) (1) C1(0,0), C200, 3), C3(4,0) とす
n+r=CiCz=3
12+r=C2C3=5
1+1=C3C1=4
a
だけ
C23
して解
この3式を辺々加えると
■と,円
3
C3
2(n+r+r)=12
C
移動す
: ntr+r=6
よって, n=1, r2=2, r3=3
…… ①
(2) C(a, b) とすると,
座標を
r+r=CC ..(n+1)²=q+62 ①
r+r=C2C
(+2)²=q²+ (6-3)2... ②
r+r=C3C ∴ (r+3)2=(4-4)2 +62･･･ ③
②① から 2+3=-66+9
.b=
+1
3-r
3
.......④
③① から, 4r+8=-8a+16
.. a=
2-r
2
⑤
+1/B
④ ⑤を①に代入すると,
12
h= +2,最大値は 2/12/13h2=6+/13
√13
9 (2) +qy+r=0とか'x+q'y+r'=0が表
す直線が一致する条件は,
pig:r=p:g′:r'
解 (1) (-a)2+(y-b)²=4
(2) ① と,2+y2=9.
・①
·②
の2つの共有点をA, B とする. A, B の座標は,①と
②をともに満たすx, y であるから,
② ① つまり 2ax+2by- (α2+62+5)=0.... ③
も満たす. これは直線を表すから直線ABに他ならない.
これが,
6x+2y-15=0........
4
と一致するための条件は,
24:26 (2+62+5)=6:2:15
24:26=6:2により, a=36
これと, 26: (2+62+5)=2:15により,
C
B
2-7
=1
(+1)=(27)+(37)
.. 36(2+2+1)=9(4-4r+r2)+4(9-6r+r2 )
23r2+132r-36=0
(r+6) (23r-6)=0
これを⑤ ④に代入して,
20
21
a=-
b=
23
23
6
r=
23
20
21
Cl
(イ) A(3, 1), B(1, 4)
AB=√22+32=√13
Pと直線AB の距離をんと
おくと, △ABP- √13 h
円 (x-1)+(y+2)²=4の
22
23'23
A
th
1
3
PAT
H
Ch2
hi
26: (106²+5)=2:15
262-36+1 = 0 |
(b-1) (26-1)=0
.
b=1,
1
2
これと⑤とから, (a, b)=(3, 1),
3 1
2' 2 S
注
2つの共有点” は,円+y2=9と直線
6x+2y-15=0の2交点であり,この2交点を通って
半径が2である円Cは,図形的に2つあるから、答え
は2つ出てくる。 またCは,以下の⑥のように表せ、
この半径が2となることから, 答えを出すことも可.
(3) A,Bの座標は, ②と④をともに満たすx,yであ
るから,
⑥
x²+y2-9+k(6x+2y-15)=0...........
も満たす.これは円を表すから,A,Bを通る円に他な
らない。これが原点 (0, 0) を通るとき,
-9-15k=0
3
k=--
5
よって,求める円は,r'+g-
18
6
-x--
5
54=0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

慣れれば模範解答の方法が当たり前になり、
実戦的には「他の方法ではダメな理由」
を探したりはしません

あなたの方法の問題点は挙げられた通りでいいかと思います
AB固定なのでABを底辺とか高さとみるのは自然な話かと
また、Pの座標が欲しいのではなく、
あくまで求めるのはABに対する垂直方向の長さ、
ひいては面積だけなので、Pの座標は不要です