Question

はる

この極限の意味がわかりません。

x2
関数 y=
x-1
のグラフの概形をかけ。
x-1
関数の定義域はx=1である。
f(x)=とする。f(x)=x+1+
1
であるから
x-1
1
f'(x)=1-
(x(x-2)
絶対に正
2
(x-1)2 (x-1)2X
"f"(x)=
(x-1)3
f(x) の増減やグラフの凹凸は,次の表のようになる。
XC
0
f'(x) + 0
1
2
0 +
f" (x)
-
+
+
+
極大
極小
f(x)
↑
0
4
また
limf(x) =8,
lim_f(x)=-∞
x→1+0
x→1-0
であるから, 直線 x=1 はこの曲線の漸近線である。
第4章
微分法の応用
さらに, lim{f(x)-(x+1)}=0
y
x→∞
lim {f(x)(x+1)}= 0
4
x→18
y=x+1
であるから, 直線 y=x+1 も
この曲線の漸近線である。
1
以上から,この関数のグラフの
0
概形は,右の図のようになる。
12
x
|x=1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

漸近線は、
①y軸に平行、②x,y軸どちらにも平行でない直線(x軸に平行も含む)
の2つがありえます。

①y軸に平行の場合
x＝〇が漸近線になるので、
lim[x→c±0]f(x)＝±∞　
なら、x＝cが漸近線

③漸近線がy=ax+bの場合
lim[x→±∞]f(x)-(ax+b)＝0
なら、y=ax+b　が漸近線

になります。

オレンジの〇の1行目は①を行っていますので、x=1が漸近線であることがわかります。
3行目は②を行っているので、y=x+1が漸近線であることがわかります。

では、どこからx+1が出てきたのか？という疑問が出てくると思いますが、これは解説の2行目にある
f(x)＝x+1+1/(x-1)
の式において、「x+1」の部分が漸近線になると覚えておくと便利です。