Question

やほ

解き方教えてください

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31 A, B は2次の正方行列, Eは2次の単位行列とする。 次のことを示せ。
(1) A+B=AB ならば, A-Eは逆行列をもつ。
(2) A+kE, A-kE がともに逆行列をもたないとき, Aは逆行列をもつ。
ただし, は0でない実数とする。
(3) A'=A かつ A≠E ならば,Aは逆行列をもたない。

行列 一次変換

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

他に良い解き方があるかもしれませんが、回答します。
不明点ありましたらコメントください。

(1)A+B=ABのとき、
AB－A－B=O
(A－E)(B－E)－E=O
(A－E)(B－E)=E
であるから、(A－E)は逆行列をもち、逆行列は(B－E)である。

以下は、(A－E)=Xとして、X⁻¹X=XX⁻¹=Eの確認
(A－E)(B－E)=E、右側に(B－E)⁻¹を乗じると
(A－E)(B－E)(B－E)⁻¹=E(B－E)⁻¹
(A－E)=(B－E)⁻¹、左側に(B－E)を乗じると
(B－E)(A－E)=(B－E)(B－E)⁻¹
(B－E)(A－E)=E…入れ替えても成り立っている。
また、A+B=BAとなり、AB＝BAであることが分かる（参考）。

(2)A－kE、A+kEが逆行列(2次の正方行列)をもたないため、
(a-k)(d-k)-bc=0、(a+k)(d+k)-bc=0である。
2式から、k(a+d)=0、ad－bc=－k²が導かれ、
k≠0のため、(a+d)=0、ad－bc=－k²≠0であることがわかる。
ad－bc≠0であり、Aは逆行列をもつ

(3)A²=A　(A≠E)のとき、
Aが逆行列をもつと仮定すると、
A²=A ⇔ A⁻¹A²=A⁻¹A ⇔ A=Eとなる。
A≠Eであるのことと矛盾するため、Aが逆行列をもたない。