ページ1:

命題と条件
Date
1.
命題
point
○真
ならば
Bである
X 1
仮定
結論
A⇒
※一部だけ正しいときは
偽になる
B
(仮定)
(結論)
Aは満たすが、Bは満たさない例を反例と
いう。
反例が1つでもあれば命題は偽となる。
問題 次の命題の真偽を述べよ
8
(1) 整数4は偶数である
(真)
(2) 2+ √3 =
55である
(偽)
(3) 円周率元は有理数である
---
(偽)
(4) 実数-1について(-1)2≧0である。
(5) x=3ならばx2=6である (偽)
(真)
(6)三角形ならば、その内角の和は180°である.
(真)
(7)x>1ならばx
=5である
(偽)
(8)数-1について(-1)≦Oである (偽)
(9) X² = 4 +25 12" X = 27" $3
x=±2 (一部だけ正しい)
(偽)
Nakabayasho

ページ2:

Date
Pならば
9
である
仮定
結論
↓
PC9
Pは9に
・ふくまれる
例P=1.2.3
9=0.12.3.4.
問題 次の命題の真偽を
いえ
(1)mが4の倍数ならばmは偶数である。
4.8.12.16. 20. 24.
(真)
(2) ab>0ならば
ayo.
b>0である。
(偽)
(反例) a
===
b
-2のとき(仮定は満たすが結論は
満たさない)
(3)x2=4ならばx=2である (偽)
(反例)x=2のとき(仮定は満たすが結論は満たさない)
(4) nを自然数とするとき、nが素数ならば、nは奇数である。
正の整数のこと
(反例)n=2のとき
1より大きい数で
TX (自分)だけの数=
2. 3.5
素数
など
(偽)
Nakabayashi
反例は、あげ足を取りに
いくつもりで探す

ページ3:

9
Date
実数:存在するすべての数字のこと
自然数:正の整数のこと。
問題
a.b.cは実数.dは自然数とする。次の命題の真偽
を調べ.. 偽のときは反例を
つ示そう
(1) a =0 +251₤" ab
= 0
真)
(2) a2.
=
b² +25 12" a
=
b
...
(偽)
反例:a=2.
b.
-2
(3) a <2 +2512". |a|<4
1914
(偽)
1.0.1.-2.
·4 <^ <4
反例:a
(4)
-3.-4-5----
dは2の倍数ならばdは4の倍数
2.4. 6-8. 10...
反例:d=2
4.8.12.16...
(偽)
(5)1al<3ならば
a <3
...
(真)
-3くのく3
-2. - 1. 0. 1. 2.
(6) dは18の約数ならば、
1.
2.3.69.18.
dは36の約数・
1. 2. 3. 4. 6.
9.12.18.36
(真)
Nakabayashi

ページ4:

2.
迯
°
必要条件と十分条件
Date
10
A =>
Aならば
B
Bである
根十分条件
必要条件 先
Bを示すのにAであれば十分なとき
Aは十分条件という
(例)
ミッキーマウスならばネズミである
⇒
A
自
B
ミッキーマウス」と聞いただけで、ネズミを特定するのに
十分な情報だから十分条件
P9
が真のとき、
Pは9であるための
Pならば 9
十分条件という
Bであっても
Aにはならない
A B
Aを示すのに、Bであることが必要なとき.
Bは必要条件という。
(例) ネズミならば ミッキーマウスである
B
A
偽
「 ズミ」と聞いただけでは、ミッキーマウスだとは
限らない。十分でない ただ、必要な情報だから
必要条件 追加の情報が必要
P9が成り立ったとき、
Pは9であるための
必要条件という
)
Nakabayasta

ページ5:

Date
9
Pは9の十分条件
覚え方
(…真
P
X
○
9
※偽)
Pは9の必要条件
Nakabayashi
↓
16 分条件
P
9
十分条件
9
または
→
必要条件
P29
必要条件
☆
成り立つ形に並べかえ、矢印の根っこが
十分条件 矢印の先が必要条件となる

ページ6:

Date
A Bが成り立つとき、AとBは同値で
あるという。
またこのとき、AはBであるための必要十分条件
といい、同様にBはAであるための必要十分条件
という
(例)
海賊王を目指している
ワンピースの主人公
麦わら帽子の青年
ならば
逆にしても真
0であるための必要十分条件
→x=0
(例)×1
=0は
x
=
右
x1
0
↓
左
+x
x=0⇒1x| =0
tx
X
0
0
Nakabayashi

ページ7:

Date
12
問題 次の2つの条件 P.9について(
)に
「必要十分」のうち、最も適する言葉を入れよ
7
十分」「必要」
(1)
P:人間である。
9: 日本人である
条件
Pは9であるための必要
9はPであるための十分条件
根十分9→P必要 先
日本人であるならば人間である)
q
P
人間であるならば日本人であるとはいえない。
(2)
P:x2=9
9:x=3
Pは9であるための必要条件
9はPであるための十分条件
P # 9
(x² = 9 +2512".
x=3である)
P
←
q
根
十分
・9P 必要先
(x=3ならばx2=9である)
q
P
反例
x=-3があるから
成り立たない。
成り立つ
Nakabayashi

ページ8:

Date
(3)P:X>4
9
X 2 3
Pは9であるための十分条件
qはPであるための必要条件
根十分
P =
9 必要先
(x>4ならばと≧ろである) 真
P
X = 5.6.7.8...
9 A
9
P
(x23ならば
x>4である)
偽
q
Þ
Nakabayashi
X = 3. 4. 5. 6.... 反例 x=3
(4)
P: a =
b.
9.
at c =
b+c
P 12
1であるための必要十分)条件
9はPであるための必要十分)条件
P 9
=
· (a = b +251 +" a + c = b + c 7" 33)
P
9 > P
q
Catc=b+cならば a=cである)
q
P
真

ページ9:

13
Date
問題
xyは実数とする。
次の
にあてはまるものを、下の
A
~
から選ぼう。
④必要十分条件である
B必要条件であるが十分条件ではない。
©十分条件であるが、必要条件ではない
ⓑ必要条件でも十分条件でもない。
(1) x=2x-x-2=0であるための
= 2 1 * x² - X - 2 = 0 4
↓
(x-2)(x+1)→ x=2,-1
根
t
x=2
→
x²-x-2=0.
根
必要
x=2ならば、
x-x-2
=0である
真
(i) x²-x-2=7
x=2
反例
x-x-2=0ならば、 x=2である
偽
x=-1も
ある
(2)xy=0は、x=1であるための
xy=0
⇒
20=0
B
xy=0ならばx=0である。
偽
例.y=0ならば
x=3でもOK
(逆) x=0
→xy=0.
x=0ならばxy=0
真
* X Y = 0 < x=0
必要
point.
右向き矢印が
左向き矢印が
真
十分条件
真
のとき
になる
のとき
必要条件
になる
Nakabayashi

ページ10:

Date
(3)1x1
=
0は、 x=1であるための
④
11:
x=0
左と右が
致する。
Nakabayashi
(4) xy>1は
x>1であるための
xy >1 x > 1
xy>ならば
x>1である
偽
もし、Xが1だとして、yが-2だとすれば、xy=2に
になるので、人x>1とは決まっていない。
xy>1ば
満だすけど
(逆)x>1→xy>1
x>1ならばxy>1である
偽
x=5にしてみて
y = -
ニー」にしてみると
xy=-5になり、
xy>1であるといえない
右のチェック→
左のチェック
←
両方必ずやること、
右のチェックで⇒真となれば、十分条件
(右+)と覚えよう。
みぎじゅう
左のチェックで
真となれば、必要条件となる。

ページ11:

(5)xy>0は、x^2+y2>0が成立するための
xy>0x²+y270
xy>0ならばx²+y>0である
逆
x²+4270
⇒xy>0
Date
14
真
偽
x^2+y^0ならばxy>0である
→右
とかはかに一の符号の数字を入れると..
左は2乗で0より大きくなるが、右のは>
はマイナスになってより大きくなるは偽
(6)△ABCCAPQRは △ABC △PQRであるための
△ABC SPQR→△ABC APQR
△ABCCAPDR
ならば △ABC EAPQRである
・偽
(相似)
(合同)
逆
△ABC=△PQR →△ABCCOPOR
△ABCAPQR ならば△ABCAPORである
(合同)
←左
(相似)
(7)
x
<
かつ1y|くしは、x^2+yくりが成立するための
B
↓
x=16
y= 10
で、あきらかに
でやってみると、115+(
81
81
162
100 + 100
100
1
以上になるので偽となる。
遂
みろくにはくしかつ1y1くしである。
x²+ y² < 1
ならば、
072+0.72<1
07
かつ-1yく1である
07
0.98
「0.7」があてはまったから真
Nakabayashi

ページ12:

Date
15
3.条件の否定
否定
AであるAでない(A)
x = 4 >>>
Point
否定
x=4
x=4
否定
x<2
x≧2
イコールを忘れずに!!
否定
有理数 無理数
奇数偶数
問題 次の条件の否定を述べよ。
(1)x =4
x=4
+
(2) nは有理数である。
nは無理数である
(3) x<2
X22
(4) x = -|
x = -1,
(5) nを整数とするときηは偶数である。
nを整数とするときには奇数である
(6)4x
4>x
Nakabayashi

ページ13:

Date
A かつBAまたはB
(ARB)
(AUB)
↑
→ AnB.
否定
AまたはB
(AUB)
→ AUB
AかつB
(ACB)
少なくとも一方は
否定
かつ、ともに
=(または)
否定
ともに
少なくとも一方は
かつ
否定
すべての
ある
問題 次の条件の否定を述べよ。
(1) x=2 かつ
y
=
4
x=または y=4
(2) a≤1 = 12 b ≤ 2
a>かつb>2
#
(3) mnを整数とするとき.m.hの少なくとも一方は偶数である。
mが偶数またはnが偶数
m.nを整数とするとき、mが奇数かつれが奇数である
4
Nakabayashi

ページ14:

(4) a ≠l または b
2
(5) -1 ≤ x ≤ 5
(6)
Date
16
9=1 かつ b≦2
-1 ≤ x *> x ≤ 5
-> x または x>5
a.bの少なくとも一方は有理数である
= または
1問題
aが有理数
またはbが有理数である。
bが無理数である。
aが無理数 かつ
xyは実数m.nは自然数とする。次の条件の否定を書こう
(1) C-1 かつ y≧2
(2)-5≦x<3
-5≦xかつxくる
XS-1 または y2
- 5 > x または x23
(3) nは奇数または3の倍数
nは偶数かつ3の倍数ではない
(4)mnともに6の倍数
サ
mnの少なくとも一方は6の倍数ではない
問題 次の命題の否定を書き、その真偽を調べよう
すべての素数について
ある素数nについて
(直
took
nは奇数である
hは偶数である
(2は素数であり偶数だから)
Nakabayashi

ページ15:

4. 命題の逆・裏・対偶
命題
A ⇒ B
逆
A
裏
Date
17
対偶
A→B
B =>
→A
迷
もとの命題から逆にして裏にしたもの
(Point,
または
もとの命題から、裏にして逆にしたもの
°
逆と裏の真偽は
・致する。
•
(裏を証明するのが難しかったら、迷を証明するとか、わかる方で考えるとよい
対偶はもとの命題と真偽が一致する。
(こちらも対偶の真偽がわかりにくかったら、命題で考えるとよい)
問題 次の命題の逆と裏を述べ、その真偽を調べよ。
(1) a=2
⇒ a² = 4
a² = 4 ⇒ a = 2
λ = ± 2
真偽は一致するので
偽
わかりやすい方で考えよう。
a + 2 ⇒ a² = 4.
(2) nは3の倍数⇒hは9の倍数
逆nは9の倍数→nは3の倍数
十
1. 18.27 36---
3. ⑨ 12.15.8 21.24.27
具
裏nは3の倍数でない⇒nは9の倍数でない。
Nakabayashi

ページ16:

Date
(3) a+b>0→a>0またはb>0
法
1裏
a>0またはb>0⇒a+b>0
atbo⇒asoかつb≦0
(反例)=1 b=-2のとき.
偽
>ME
(4)
a+b
逆
裏
〃
6
⇒ a=4 かつ
b = 2
⇒a+b=6
自
a=4かつb=2
4
2
a+b=6→a=4またはb=2
問題 次の命題の対偶を述べ、その真偽を調べよ
逆にして裏にする
(1)
nを整数とするとき、nは4の倍数⇒nは2の倍数
↓(逆)
nを整数とするとき、hは2の倍数⇒nは4の倍数
↓(裏)
対偶nを整数とするとき、nは2の倍数でない⇒nは4の倍数でない
真偽は、命題が
命題で考えると、カンタン
n=4(48) 1116
n=2(2.4.6.8.10.1.14.16...)
対偶か、わかりやすい
方を選んでOK
直
命題が真なら対偶も真!
Nakabayashi

ページ17:

Date
18
(2) hを整数とするとき、12は偶数→nは奇数
↓(逆)
nを整数とするときは奇数→n²は偶数
↓(裏)
対偶nを整数とするとき、nは偶数は奇数
ハワ
2
2→
4
427
→
16:
奇数にはならない
6736.
(3)mnを整数とするとき
mnはともに偶数→m+nは偶数
↓(逆)
対偶
mtnは偶数→mnはともに偶数
↓(裏)
かつ
mthは奇数→mが奇数またはhが奇数
真偽よくわからないので命題で調べよう。
mnはともに偶数
II
例
2
→2+2=4 だから
偶数
(十)

ページ18:

5対偶を利用する証明
証明のおさらい
証明は ハンバーガー
①文章を式にする。
}② 計算する。
Date
19
}③式の答えから結論に導く。
e
偶数
2K と表す
0
奇数 2k+1と表す.
•
5の倍数・・・
5kと表す
問題
連続する3つの整数・・・K,k+1,k+2と表す
(まだば k-1,k,k+1と表す)
nを整数とするとき、次の命題を証明せよ
nが奇数ならば
2が奇数である。
hは奇数なので
n = 2k+1とおける
(kは整数
}
=
(2k+1)^ ①
=4k2+4k+1
=
2 (2k+2k)+1
「2K+1」としたいがために2でくくった
Kは整数なので、
2 (2k+2K)+1は奇数
よって²は奇数となる。
}
Nakabayashi

ページ19:

Date
(Point
対偶はもとの命題と真偽が
致する
ABの証明より、BAの証明の方が楽な
ときもある。
(例)
命題: つき合いたくない⇒あなた以外の人
逆+裏
↓
対偶
:
あなた
→つき合いたい
問題
a.bは実数とする。次の命題の真偽を述べよ。
a+b>5
=⇒
a>3またはb>2
対偶
a ≤ 3 > b ≤ 2 ⇒a+ b ≤ 5
1問題
a,bは実数とする。
対偶を用いて次の命題を証明せよ。
対偶を式に
a+b>5→a>3またはb>2
する
対偶の≦ろかつbs2a+b≦5
文→式①
計算 ②
結論
a+b≦3+2
5.
①
②
よって、対偶は真である。
③
なので、もとの命題 a+b>5>3またはb>2
も、真となる
Nakabayashi

ページ20:

20
Date
Point)
対偶を利用する証明の頻出パターン。
A
B
①Aが難しい式で
Bが易しい式になっている
②偶数、奇数の問題や、~の倍数の問題
↓
こんなときは
対偶を考えてBAにして
から式をたてよう。
問題は整数とする。 次の命題の真偽を述べよ。
n2+1は奇数 ⇒
nは偶数
難しい式
易しい式
1
... 2k
奇数
2K+1
対偶
hは奇数
n2+1は偶数
2k+1
n=2k+1
hに2k+1 を代入して式をたてると、
n² + 1
=
(2k+1)+1
4K2+4k+1+1
=
4K2+4K+2
全体を2でくれるから2の倍数なので偶数
ということがわかった!
対偶は命題と真偽が一致するので、
Nakabayashi

ページ21:

Date
問題
hは整数とする。対偶を用いて、次の命題を証明せよ。
n2+1は奇数→
nは偶数
命題の対偶は次の通り
対偶にしてから
式にする
文
nは奇数 n2+1は偶数
結論
③
①
nは奇数より
2K+1とおける (kは整数)
h2+1=(2k+1)^
2でくくれて
= 4K+4k+2
✓
偶数になることが
わかった
=2(K2+2k+1)
kは整数より
2 (2k2+2k+1)は偶数
整数
2×整数
(3
=
偶数
よって、対偶は真となり、もとの命題も真である。

ページ22:

6.
背理法を利用した証明
Date
21
「
(Point
無理数であることを示せ」
という問題がでてきたら、
TE
そんなん ムリっす。
だから、
背理法を使う
無理数でないとしたら、つまり有理数だとしたら
そもそもそれおかしくない?
有理数だったら矛盾するから無理数じゃないの?
問題
同が無理数であることを利用し
であることを示せ
1+1が無理数
文
1+3が有理数Kであると仮定すると、
1 +3
J3.
=
k
-
=
K
無理数
有理数
計算 予
結論
ここで (左辺)=3は無理数
(右辺)=
=
K-1は有理数で予盾する。
つまり、1+1を有理数とする仮定は誤りであり、
1+53は無理数である。
Nakabayashi

ページ23:

Date
問題が無理数であることを利用し、
であることを示せ.
+3√2が無理数
背理法を使う
1+3J2が有理数kだとすると
+352
=
- k
3√2 = k =
1
文
計算 予
結論
=
-
3
無理数
有理数
よって、 (左辺) =√は無理数
(右)=1/2-1/3は有理数で予盾する。
つまり1+35を有理数とする仮定は誤りであり、
1+352は無理数である。

ページ24:

thankyou
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