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a>0として考えます。
y=aˣ(>0)に置き換えて、aˣ+a⁻ˣ<a+1/aを変形すると、
(y－a)(y－1/a)<0…※ となります。
a=1のとき左辺(y－1)²≧0であり※が成り立つyは存在しない（解なし）。
a≠1のとき
・1/a<a (…1<a)のとき 1/a<y<a ⇒ a⁻¹<aˣ<a¹
・a<1/a (…0<a<1)のとき a<y<1/a ⇒ a¹<aˣ<a⁻¹
どちらも-1<x<1であることが分かる
(底をaとした対数をとってから求めてもよいです。0<a<1は注意)
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a<0のときも存在しますが、示すのが難しいです。
例えば、a=－2、x=3のとき、aˣ+a⁻ˣ=-8-1/8、a+1/a=-2-1/2は解の１つです。
（a<－1のときx=3以上の奇数であれば解になります）
a<0の場合
・a=－1のときは、解なし
・a≠－1のとき、|x|=3以上の奇数
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まとめると
・a=±1のとき、解なし
・a>0(a≠ 1)のとき、－1<x<1
・a<0(a≠－1)のとき、|x|=3以上の奇数