Question

🎀🪐🫧

52(2)の問題で、どうして証明する時に
［1］2lal−3lbl <0のときと
［2］2lal−3lbl ≧0の時に分けなければいけないのでしょうか？

52 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つときを調べよ。
*(1) 2|a|+36|≧|2a+36|
(2)2|a|-3|6|≦|2a-36|

(2)[1] 2|a|-36 < 0 のとき
|2a-36|≧0であるから, 不等式は成り立つ。

0
[2] 2|a|-3|6≧0 のとき
両辺の平方の差を考えると
|2a-36|2-(2|a|-3|6|)2
=(2a-36)2_(4|a|2-12|a||69|6|2)
=(4a²-12ab+962)-(4a2-12|ab|+962)
=12(|ab|-ab)
......
①
labl≧ab であるから labl-ab0
ごあ
よって, ① から
(2|a|-3|6|2|24-3612
2|a|-3|6≧0,2a-361≧0であるから
2|a|-3|6|≦12a-36
[1], [2] から 2|a|-3|6|≦12a-36|
等号が成り立つのは,2|a|-3|6≧0 かつ
|ab=ab, すなわち 2|a|≧36 かつ ab≧0 のと
きである。
0,

不等式の証明 絶対値

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

[2]で両辺を2乗していますね。負の数を2乗すると正の数になりますが、そうすると大小関係が入れ替わってしまう恐れがあるからです。
たとえば、3と-4は、当然3の方が大きいですが、それぞれ2乗すると9と16になり、16の方が大きくなってしまいます。このように、2乗する場合は注意が必要です。

🎀🪐🫧

ありがとうございます！
理由はわかったのですが、なぜこの問題だけ場合分けしているのでしょうか？？
例えばこの(1)も両辺を2乗して考えると思うのですが、場合わけして証明するのは(2)だけですよね？？その理由が知りたいです！

きらうる

(1)は両辺とも確実に正と言えるからですかね。
2|a|+3|b|は正+正＝正ですし、|2a+3b|はまるごと正ですから。

🎀🪐🫧

なるほど！！丁寧にありがとうございました✨