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極値の定義は、f'(x)の符号変化であることから、図を書けばわかるように、成り立ちます。
後半の「x=πのときはf''が0の時は絶対に極値はないというわけではないのですか？」に関しては、ちょっと意味が分かりかねます。x=πならf''は0なので、「0の時もある」ということではないです。
f''が0になるから極値を持たないというわけではないです。f''が0の時、極値を持つときもありますし、持たないときもあります。
例（写真参照）
y=x³
y'=0を満たすxはx=0。このときy''=0になる。
→しかしx=0は極値ではない。
y=x⁴
y'=0を満たすxはx=0。このときy''=0になる。
→このときx=0で極小値をとる
πはどこから出てきたかに関しては、「f'(x)=0の解の1つとして」です。そもそも、普通に極値を出したいだけなら、数2で習ったみたいに普通に1回微分した後に、f'(x)のグラフを書いて符号変化するかどうか確かめてやればいいだけです。なんでわざわざ2回微分なんていう面倒臭いことをやっているかというと、1回微分した関数が複雑すぎて符号変化するかどうかを調べることが困難だからです。（数2だとxのべき乗しか出てこないから、そんなことは起こりません。）こういう「1回微分は複雑だけど2回微分なら符号変化が分かりやすい関数になりそう」というときに使う方法がこれです。
だから、思考の過程としては
「したがって」のところで1回微分=0のxが求まった。
→f'(x)=(cosx+1)(2cosx-1)のグラフを書いて符号変化を調べよう
→こいつのグラフ書くの難しいな
→もう一回微分してやるか
っていう感じですね。
ただこの問題に関して言えば、「難しいから」より「問題文でそう言われているから」の方が正しいです。f'(x)=(cosx+1)(2cosx-1)の符号変化はすぐに調べられますし、f'(π)で符号変化を起こさないことの根拠も1回微分した結果を根拠に言っています。
ここのところは自分自身が苦労したので、なるべく丁寧に書いたつもりです。わからないことあればコメントしてください。
返信ありがとうございます。
πは～からの文良く分かりました！
なんとなく解いていましだが、1回では難しい時に2回微分して解いていたのですね。
すみません🙇
増減表を解く問題までしかまだ習っていないのですが、これもその問題だと思い解いていました。
なので明日この問題のような範囲を習うと思うので、この問題のベストアンサーと返信明日でも良いですか？
もし明日読んでも分からなかったらもう一度聞くことになってしまうかもしれません🙇本当に申し訳ないです。
増減表を書いて解くときは「変曲点を知りたいから」2階微分していますが、今回のケースでは「1階微分した関数の符号変化を知りたいから」2階微分しています。目的によって使い分けしているという理解だとわかりやすいと思います。
返信、明日して頂いても構いませんがすぐに返信できないかもしれませんので予めご了承ください。
返信ありがとうございます。
1階微分した関数の符号変化を知りたいから→今回はこういう意味で使い分けているのですね。助かります！
本当に申し訳ないのですが、今日の授業進みがいつもより遅くここまで習いませんでした。明日には習うと思うのて、また明日返信させて貰います🙇
返信、明日して頂いても構いませんがすぐに返信できないかもしれませんので予めご了承ください。
→全然大丈夫てす。テストまでまだ時間も結構あり、また答えてくださるだけでとても助かるので、お時間がある時で良いです🙇
何回も先延ばしにしてしまいすみません。
返信とても遅くなり本当にすみません🙇
今写真添付したものの考えで合っていますか？
お時間あるときに確認よろしくお願いします🙇
そうです。あまりまとまりのない回答をした節があるので、何か他に聞きたいことあればコメントしてください。
とても早く返信ありがとうございます。
何回も教えていただきとても助かります！
合っていて良かったです！
何回も解説読ませて貰いました。
すごく分かりやすかったです！
ありがとうございました🙇
回答ありがとうございます。
文読み返したら良変な風になっていて申し訳ありません🙇
確かに成り立ちますね！
後半の質問に関してなんですが、πはf''が0になるから極値を持たないということですか？
でしたらはじめπはどこから出てきたのですか？よろしくお願いします🙇