Question

キト

数学Ⅲ、複素数平面です。
赤文字の最後の一行の式変形がうまくいきません。どのようにすればこの結果が得られるのでしょうか？1枚目に元の画像、2枚目に計算跡を貼り付けています。
(何回も移動変形していたので画像が荒くなっています。)

★2 確かめましょう。
2=cose+isine
z=coso-isino
w=1-z_1-( cos0+isino)
1+z 1+( cos0+isino)
0 0
sino
1+cose
2sin cos
2
2
0
-i=-tani
20
2
2cos
よって、w=tanmiキであり,
-w+1 = (cos0+1)-(cos0+1)sin0 ×i*z
w+1

★2 確かめましょう。
2 cose+isine
z=coso-isino
w=-
1-z 1-( cos0+isino)
=
1+1+(cos0+isino)
0 0
2 2
0
i=-tani
sine
1+cos
2sin cos
20
2cos
2
よって、w=tani キミであり、
-w+1
w+1
+1
+/
-isin 0414 com 0
ising +14cα0
(14 caso)-isin O
(cos) Tisin
coso
Sing
Sin
+ -((cst)
=(cos0+1)-(cos0+1)sino xi
-isin
i sin 0
196018
(ces 0-11-sindi) (lecoso-sino;)
1+ 2 cos 0+ I
It costs in 20+2cus
242c030
1+20050
172050
-tangi+l
=
tanill
1+
0
1-2 fan I 1
| tan
1-caso
1+ cos 0
0
tan²

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

キトさま
以下、複素数 z の共役複素数を記号【z】で表すことにします。
さて、解説（赤色）のさいごの２行は誤りだと思います。この部分の本解答は
　w≠-1 であるから z=(-w+1)/(w+1) .
　よって，
　(【-w】+1)/(【w】+1)=【z】= cosθ-i sinθ　■
だったのではないでしょうか。
この結果を w=-tan(θ/2) i を代入することで確かめよう、というのが、ここで言う確かめです。
したがって、さいごの２行は次のようになります。
　【w】=tan(θ/2) i ≠-1 であるから、【w】+1≠0。
　よって、(【-w】+1)/(【w】+1) の値は存在する。その値は
　(【-w】+1)/(【w】+1)
=(-【w】+1)/(【w】+1)
=(1-tan(θ/2) i)/(1+tan(θ/2) i)
=(1-tan²(θ/2)-2tan(θ/2) i)/(1+tan²(θ/2))　← 分子・分母に ×(1-tan(θ/2) i) した
=(1-tan²(θ/2)-2tan(θ/2) i)・cos²(θ/2)　← 1+tan²α=1/cosα より
=｛cos²(θ/2)-sin²(θ/2)｝-｛2sin(θ/2)cos(θ/2)｝i　←２倍角の公式 sin2α=2sinα cosα で α=θ/2 などとする
=cosθ-i sinθ　■
になります。
（補足）
解説（赤色）で θ＝π/2 を代入すると
w=-tan(π/4) i=-i
∴【w】=i
このとき
（最後の式の左辺）=(-i+1)/(i+1)=-i
（最後の式の右辺）=(cos(π/2)+1)-(cos(π/2)+1)sin(π/2)×i=1-i
となって、解説文が誤りであることが分かります。

キト

ありがとうございます。共役複素数の公式を使った結果と合わなかったので不安でしたが、これを見て納得できました。
添削者とメールできるのが2日後くらいだったので、ここで早めに解決できたので安心できました。本当にありがとうございます。