数学
高校生
解決済み
(2)でy=1にしても成り立つと思ったのですがなぜ成り立たないのか教えて頂きたいです。
練習 (1) A, B を任意の定数とする方程式 y=Asinx+Bcosx-1 から A,Bを消去して微分方程式
③ 269
を作れ。
(2) 次の微分方程式を解け。ただし,(イ)は[]内の初期条件のもとで解け。
(ア) y=ay2 (αは定数)
(1) y=Asinx+Bcosx-1
y'=Acosx-Bsinx
y"=-Asinx-Bcosx
② xcosx-③×sinx から
② xsinx+③ × cosx から
これらを①に代入して
=-y"-1
2
(1)xy'+y=y'+1 [x=2のときy=2]
+507-1
③とする。
A=ycosx-ysinx
B=-(y'sinx+y" cos x)
y=sinx(y'cosx-y"sinx)-cosx(y'sinx+y" cos x)-1
←③から
ib
Asinx+Bcosx=-y"
① から y=-y"-1
としてもよい。
←sinx+cos' x=1
<sin’x+cosx=1
←これを答としてもよい。
したがって
y"=-y-1
(2) [1] 定数関数 y=0 は明らかに解である。
[2] y≠0のとき
1dy
←y = 0
y2dx
=a
←変数
dy
ゆえに
y
S 12. dx dx = a Sdx
Lady=afax
←置
1
すゆえに
=ax+C (Cは任意定数)
Sco
y
よって
(-1=(ax+C)y すなわち (ax+C)y+1=0
以上から、解は(ax+C)y+1=0 (Cは任意定数),y=0
←角
dy
(イ)x
(1) x dx
dy
dx
+y= +1 から
=-
dx
(x-1) dy = -(y-1) .. ①
と
y=1のとき, ①から
定数関数 y=1は与えられた初期条件を満たさない。
R1Ydy
1
と
=-
ゆえに
条件より、 QRP OPY-1 dx
(1
x-1
-Sxydx
1
I
よってSS
dy
x-1
ゆえに
よってy-1|=|x-1|
log|y-1|=-log|x-1|+C (Cは任意定数)
ec
1
ec
すなわち y=1±
+x-1
gol
±e=A とおくと, A は0以外の任意の値をとり
って、③か y=1+
A
A
x-1x
s+I
*3-I
g=
x=2のときy=2であるから=1+A1
したがって,解は
1-19A
1
y=
y=1+-
x-1
S
A=
>&50-A [S] 11
y=1 y=0
my'ty
xy' + y = y' +1 1= 1 + 1 & 32
2.0+1=0+1
回答
疑問は解決しましたか?
この質問を見ている人は
こちらの質問も見ています😉
おすすめノート
詳説【数学A】第1章 個数の処理(集合・場合の数・順列組合)
5948
51
詳説【数学B】漸化式と数学的帰納法
3155
13
詳説【数学B】いろいろな数列
3127
10
詳説【数学B】等差数列・等比数列
2832
9
詳説【数学Ⅱ】第5章 微分と積分(後半)~積分~
2335
5
数学Ⅱ公式集
1977
2
数学Ⅲ 極限/微分/積分
1535
9
【解きフェス】センター2017 数学IIB
396
2