数学
高校生
解決済み
(2)でy=1にしても成り立つと思ったのですがなぜ成り立たないのか教えて頂きたいです。
練習 (1) A, B を任意の定数とする方程式 y=Asinx+Bcosx-1 から A,Bを消去して微分方程式
③ 269
を作れ。
(2) 次の微分方程式を解け。ただし,(イ)は[]内の初期条件のもとで解け。
(ア) y=ay2 (αは定数)
(1) y=Asinx+Bcosx-1
y'=Acosx-Bsinx
y"=-Asinx-Bcosx
② xcosx-③×sinx から
② xsinx+③ × cosx から
これらを①に代入して
=-y"-1
2
(1)xy'+y=y'+1 [x=2のときy=2]
+507-1
③とする。
A=ycosx-ysinx
B=-(y'sinx+y" cos x)
y=sinx(y'cosx-y"sinx)-cosx(y'sinx+y" cos x)-1
←③から
ib
Asinx+Bcosx=-y"
① から y=-y"-1
としてもよい。
←sinx+cos' x=1
<sin’x+cosx=1
←これを答としてもよい。
したがって
y"=-y-1
(2) [1] 定数関数 y=0 は明らかに解である。
[2] y≠0のとき
1dy
←y = 0
y2dx
=a
←変数
dy
ゆえに
y
S 12. dx dx = a Sdx
Lady=afax
←置
1
すゆえに
=ax+C (Cは任意定数)
Sco
y
よって
(-1=(ax+C)y すなわち (ax+C)y+1=0
以上から、解は(ax+C)y+1=0 (Cは任意定数),y=0
←角
dy
(イ)x
(1) x dx
dy
dx
+y= +1 から
=-
dx
(x-1) dy = -(y-1) .. ①
と
y=1のとき, ①から
定数関数 y=1は与えられた初期条件を満たさない。
R1Ydy
1
と
=-
ゆえに
条件より、 QRP OPY-1 dx
(1
x-1
-Sxydx
1
I
よってSS
dy
x-1
ゆえに
よってy-1|=|x-1|
log|y-1|=-log|x-1|+C (Cは任意定数)
ec
1
ec
すなわち y=1±
+x-1
gol
±e=A とおくと, A は0以外の任意の値をとり
って、③か y=1+
A
A
x-1x
s+I
*3-I
g=
x=2のときy=2であるから=1+A1
したがって,解は
1-19A
1
y=
y=1+-
x-1
S
A=
>&50-A [S] 11
y=1 y=0
my'ty
xy' + y = y' +1 1= 1 + 1 & 32
2.0+1=0+1
回答
疑問は解決しましたか?
この質問を見ている人は
こちらの質問も見ています😉
おすすめノート
詳説【数学Ⅰ】第一章 数と式~整式・実数・不等式~
8856
115
詳説【数学Ⅰ】第二章 2次関数(後半)~最大・最小・不等式~
6032
25
詳説【数学A】第1章 個数の処理(集合・場合の数・順列組合)
6010
51
詳説【数学A】第2章 確率
5812
24
数学ⅠA公式集
5551
19
詳説【数学Ⅰ】第二章 2次関数(前半)~関数とグラフ~
5116
18
詳説【数学Ⅱ】第3章 三角関数(前半)~一般角の三角関数~
4822
18
詳説【数学Ⅰ】第三章 図形と計量(前半)~鋭角鈍角の三角比~
4514
11
詳説【数学A】第3章 平面図形
3585
16
詳説【数学Ⅰ】第三章 図形と計量(後半)~正弦・余弦定理~
3510
10