Question

し　【難関大学志望】

【2】なぜ4の倍数でなければならないと分かるのですか？

問題7-6
自然数nに対して、3n+nと㎥+1の最大公約数をg とする。
(1) すべてのnに対して, g≠5であることを示せ。
(2)g = 14 となるようなnの最小値を求めよ。
(学習院大 )

(2)g = 14 となるには,n-3が14の倍数でかつ4の倍数でなければよ
約数である。 よって、g≠5gは28の約数な
よって、
n-314k (kは奇数)kが偶数のときは3が
∴ n = 14k+3
まいます
の倍数になってしまいます
これはk=1のとき最小で、求めるnの最小値は
n=17←k (偶数)はダメ!!
9でなけれに

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

「4の倍数でなければならない」ではなく
「4の倍数でなければよい」とあるような気がします

で、4の倍数かどうかがなくても
n-3=14k(kは0,1,2,3,…)でいいのでは？
n=14k+3
kが大きいほどnも大きい

k=0のときn=3
このときn-3=0, n³+1=28
この2数の最大公約数は28だから不適

k=1のときn=17
このときn-3=14,
n³+1=(14+3)³+1=14(自然数)+28=14(自然数)
だから、2数の最大公約数は確かに14

これでいいのでは？

(1)をどう解いているのかわかりませんので
これで限界です

し　【難関大学志望】

返信遅くなって大変すみません！
4の倍数でなければよいでした。
それでもなんでn－3＝14k【kは奇数】と表されるのでしょうか？

和

ちゃんと読んでくれていないようですね…

上の答で「解答」としては十分かと思います

(1)をどう解いているのかわかりませんので、
質問への「回答」としては上の答で限界です

し　【難関大学志望】

こう解きました、

和

3n³+nとn³+1の最大公約数g=14
ということは
n-3と28の最大公約数が14ということです

まずn-3が14の倍数でないと、
最大公約数14になれません
n-3 = 14×▪︎
28 = 14×2 というイメージです
だから、少なくともn-3は14の倍数です

しかし、n-3が14の倍数といっても、
28の倍数になってしまうと、
n-3と28の最大公約数ほ28になってしまうから、
結局n-3は14の倍数であるが28の倍数ではない
ということになります

これを文字で表すと、
n-3 = 14k
ただし、kが2,4,6,8,…と偶数になってしまうと
n-3は28の倍数になってしまうので、
kは1,3,5,7,…つまり奇数となります

し　【難関大学志望】

ここまで教えてくれてありがとうございました！理解できました！