Question

みみ

複素数平面の問題なのですが、(2)の(1)からとかかれている部分の式が成り立っている理由がわからないです。説明してくださるとありがたいです。

総合 (1) zz+(1-i+α)z+(1+i+α) z =αを満たす複素数が存在するような複素数αの範囲を,
20
「複素数平面上に図示せよ。
(2)|a|≦2 とする。 複素数zがええ+ (1-i+a)z+(1+ita z=αを満たすとき,|2|の最大値
を求めよ。 また, そのときのα, z を求めよ。
(1) 1+i+α=β とおくと, ß=1-i+αであるから
zz+(1-i+α)z+(1+i+α)z=zz+Bz+Bz
=(z+B)(z+B-BB
=|z+BP-1B12 S
よって
|z+BP-1BP=a
すなわち
1z+BP=a+1B12 ①+
[類 新潟大]
本冊数学C 例題 111,112
←B=1+i+α
=1+i+a
|- =1-i+α
+22=121² =

2B,Bはともに実数であるから, ①を満たす複素数 ぇ が
存在するための条件は
α が実数 かつ α+B12 ≧ 0
ゆえに at|1tita≧0 ←+ hittillita-il
α+1は実数であるから
+12+120
y+
←実数αの2次不等式。
α+(1+α)2+1°≧0
整理して
Q2+3a+2≧0
すなわち
(a+1)(a+2)≥0
よって
am-2,-1≦a
-2-1 0
したがって、 複素数αの範囲を複素数
平面上に図示すると, 右図の太線部分
のようになる。
Z+B
(2) (1)から
|z+1+α+il=α²+3a+2
(2)
また,(1)の結果から, ②を満たす複素数 z が存在するための
a≦-2,-1≦a
←+1BP=a2+3+2
条件は
ここで, |α|≦2から
[1] α=2のとき
②は
|z-1+i=0
α=-2, -1≦a≦2
⇔-2≦a≦2
よって
z=1-i
←点1-iを表す。
このとき |z|=√12+(-1)=√2
[2] α=-1のとき
②は
1z+i=0
よって
z=-i
←点を表す。
このとき |z|=1
[3] -1 <a≦2のとき
は |z+α+1+
=α2+3a+2
α=2
よって, 点々は点-α-1-i
3,
01
を中心とする半径√2+3+2
の円上を動く。
x
最大
αの値を-1 <α≦2の範囲で1
つ固定すると,図から,zの
最大値は
1 1
a=-2
α=-1
-a-1
YA
←a2+3a+2
=(a+1)(a+2)
-1<α≦2のとき
α+1>0 α+2> 0
←-3≦-α-1<0
|-a-1-i+√2+3+2
= √(a+1)² + 1 + √(a + 31 ) ² - 1/1
←(原点と点-α-1-i
の距離) + (円の半径)
ここで, (a+1)+1, ( a + 3/3)² -
1/1/1
はともに-1<α≦2に
おいて単調に増加する。
したがって, -1 <α≦2において,③は
α=2で最大値10+2√3 をとる。
[1]~[3] の結果を合わせて考えると 10 +2√3 > √2 >1
であるから,|2|はα=2で最大値10 +2√3 をとる。
←この2つのαの関数
はどちらもα=2で最大
となる。