Question

みみ

式と曲線の範囲なのですが最後にｎ=1.2.3の場合についても考えているのはなぜですか？

数学C253
総合 実数a, rは0<a<2,0 <r を満たす。 複素数平面上で,|z-a|+|z+α|=4を満たす点の
23
(1) CaとCが共有点をもつような点 (α, r) の存在範囲を, ar 平面上に図示せよ。
く図形を Ca, |z|=r を満たす点の描く図形をCとする。
(2)(1) の共有点が z=-1を満たすとき, a, rの値を求めよ。
(1) P(z), A(a),B(-a) とすると
|z-a|+|z+a|=4⇔PA+PB=4
zx+yi(x, yは実数) とすると, 楕円の方程式は
よって, Caは2点A,Bを焦点とする楕円である。
x2
2
このとき
=1(p>g>0) とおける。
PA+PB=2p,
焦点は2点(q',0),(√b-g', 0)
[類 静岡大 ]
本冊 数学C 例題 106, 149
←点Pの軌跡は, 2点A,
Bからの距離の和が一定
である点の軌跡楕円。
←焦点は実軸 (x軸) 上に
あるから >q > 0
ゆえに
2p=4
D, √p²-q² = a......
(2)
①から
p=2
よって、②から
=
ゆえに、楕円 Caの方程式は
x2
+
=1
←
から。
総合
また >0
4
4-a²
また、Cは原点を中心とする半径
円であるから, CaとCが共有点
をもつための条件は
500円(
√4-a²
C(r=2)
*Cr=√4-a²)←P(z)とすると
|z-0|=r⇔OP=r
Ca-
√√4-a² ≤r≤2
-2
12x
10
ここで4-ar
4-a²≤r²
⇔dtr≧4
-√√4-a2
......
③
また 0<r≤2
③ ④ および 0<a< 2 を満たす点
2
(a, r) の存在範囲は右図の斜線
部分のようになる。
0
2 a
ただし、境界線は, 直線 α=2と点
(02) を除き,他は含む。
-2
(2) z=r(coso+isin0) [0] とす
ると, z=-1から
(cos 40+isin40)=cosπ+isinπ
よって
1 を解くと
n = 1, 40=z+2nπ (n は整数)
n=1
40=x+2nπから
0=1+17
n
π
4
2
π
0=
4
このとき
2=
1+1/
n=0 とすると-
CとCの共有点が点 1+1/zi であるとき,楕円
+
4
4
√2
=1上に点 (1/12/1/12)があるから
(-50°
←条件0<a<20 <r を
忘れずに。
←まず, z=-1の解を
求める。
なお, z'=-1から
(z+2z2+1)-2z=0
よって (22+√2z+1)
xz2-√2z+1)=0
このように因数分解して
解いてもよい。

254-
1
1/8+2(4-0)
<a<2であるから
=1………(*)
2√6_2√42
よって
a²=
a=2452/F2
√7
7
247
n=1,2,3としても,同様にして,同じαの値が得られる。
2√42
したがって a=
r=1
7
n = 0, 1,2,3のとき
/2
-i
ぇ =±
土
となる。
よって, n=0, 1,2,3の
各場合に対して, (*) が
導かれる。

Answer 1

Mike_teacher

これでわかりますか？