Question

みみ

数3複素数の範囲なのですが、α=1となっているのはなぜですか？

練習 偏角が0より大きく
Π
より小さい複素数 a=cosO+isin を考える。
134
2=0,Zュ=1とし,Z-Zx-1=α(Zh-1-Zx-2) (k=2,3, 4, ...) により数列{2}を定義すると
き,複素数平面上でZk(k=0, 1,2, ･･････) の表す点をPkとする。
(1)をαを用いて表せ。
●(2)A (1) とするとき,点P (k=0, 1, 2,...) は点Aを中心とする1つの円周上にある
ことを示せ。
[類 名古屋市大]
HINT (1) まず,ZkZk-1 を αで表す。 数列{Zk-Zk-1}は数列{2h} の階差数列であるから,k≧1
k-1
のとき,Zk=Z+(n+1)としてZんが求められる。
n=0

(1) Zk-Z-1=α(Zk-1-Zk-2) から
Zk
2
数学C——135
-Zk-1=0 (Zk-1-Zk-2)=α・α(Zk-2-Zk-3)=Q2(Zk-2-Zk-3) ←漸化式を繰り返し利用。
Z₁-20 ==α-1 (21-20)=α-1
よって, k≧1のとき, αキ1であるから
k-1
k-1
Zh=20+ Σ(2n+1-Zn)=zo+ Σα
n=0
1-(1-ak)
=0+
1-a
1-ak
=
1-a
① はん=0のときも成り立つ。
n=0
रा
+
Zn = Zn-1 + 2k-
Zo +(26-
(六)
21-20 1-0=1
← 0 0 から α≠1
k-1
←α 1, 公比
n=0
α項数kの等比数列の
和。
30
練
練習
1-ak
したがって Zk
1-a
(2) APh = |2n-11 || 1-0
1-ak
=
1665
1-
1-a°
=0
1-a
← (1) の結果を代入。
+1-
Fα=1
1-α
ak
= 1-0 | = ||| = |11| (k=0, 1, 2, ...)
|1-a |1-a 1-a
CIZ C
ゆえに、点Pk (k=0, 1, 2, ...･･･) は点Aを中心とする半径
1
の円周上にある。
1-a
Jo
DS