Question

大阪

(2)で、模範解答ではP₀を使って漸化式を解いてますが、nは自然数と問題文にあるので3枚目のようにP₁を使って漸化式を解いてもいいですか?

7･17 正四面体 ABCD の頂点を移動する点Pがあ
る。 点Pは、1秒ごとに, 隣の3頂点のいずれか
に等しい確率で移るか,もとの頂点に確率
3
1-αで留まる. 初め頂点Aにいた点Pが,n秒
後に頂点Aにいる確率をpm とする. ただし,
0<a<1とし, nは自然数とする.
(1) 数列{p}の漸化式を求めよ.
(2) 確率 n を求めよ.
( 17 北大・文系)

漸化式/2項間漸化式
「Pn+1とPの漸化式」を立てるときは, n
S 7.17
の結果 (または1秒後の結果) を排反ですべてを尽くい
た場合に分けてn+1秒後を考えることが定石。
また, po (最初の状態の確率) を使うと、後の処理が
少し楽になることが多い.
B, C, D にいる確率は, 合わせて 「A以外にいる
率」と一括して扱える. α=1の場合は頻出。
(1) Pn+1秒後に A
にいる場合を, n秒後にどこに
いるかで場合分けして考える.
(i) n 秒後にAにいるとき
(確率pm), n+1秒後に確率
1 -α でAにいる.
C
(ii) n秒後に B,C, D にいるとき(確率 1-Pm),B,
C,D のどこにいてもn+1秒後に確率1/3でAにいる。
a
²+1= (1 — — — a) p₁ + ² + 3
B
a
よって,Pn+1=p,'(1-a)+(1-pm) 1/3
∴ Pa+1=
秒後の試行
a
AQ1-a
a
(2) [x=(1-1/24) x+ /1/8の解はx=121 だから ]
a)x+
4
Pn+1−1 =(1-¼ ¼ a) (pn− 1)
Pは初めAにいるので po=1とすると, 漸化式はn≧0
で成り立つから,
p.-—=(1-§¾¼a)*(po-1)=(¹-¼- a)*·¾/
· Pa= ² + (1 - 1² a) * · ³
ゆ注 0<a<1のとき- // <1-1/4<1なので.
limp=1 である。nが大きくなると A~D のどこに
いるかは対等とみなせる、という直感に合っている。

Pinti -
Pn+₁ = = = (1 - = a) (Pn - = )
4
と変形できて、
P₁ = (-a *1).
Ph- — = (2-a)/(-$₂) "1
Pn-
Pn
||
=
;a)
(2-a) ||- ^ ^^)^+ + +
3
4