[重要] 例題
接線の交点の軌跡
楕円x2+4y2=4について,楕円の外部の点P(a,b)から,この楕円に引いた2
本の接線が直交するような点Pの軌跡を求めよ。
[類 お茶の水大]
指針点Pを通る直線y=m(x-a)+6が,楕円x2+4y²=4に接するための条件は,
x2+4{m(x-a)+b=4の判別式Dについて, D=0が成り立つことである。
また、D=0の解が接線の傾きを与えるから,直交傾きの積が-1 と 解と係数の関
係を利用する。
なお,接線がx軸に垂直な場合は別に調べる。
[参考] 次ページでは, 楕円の補助円を利用する解法も紹介している。
CHART 直交する接線 D = 0, (傾きの積)=-1の活用
解答
[1] a≠±2のとき, 点Pを通る接線の方程式は
y=m(x-a)+b
とおける
これを楕円の方程式に代入して整理すると
(4m²+1)x2+8m(b-ma)x+4(b-ma)2-4=0 (*)
このxの2次方程式の判別式をDとすると D=0
ここで 12/2=16m²(b-ma)-(4m²+1){4(b-ma)-4}
TRETJI
=-4(b-ma)^2+4(4m²+1)
=4{(4-α²)m²+2abm-62+1}
ゆえに (4-a²)m²+2abm-b²+1=0 ....
IE
の2次方程式 ①の2つの解を α, β とすると αβ=1
- 62+1
すなわち
4-a²
よって
a²+b=5, a+±z
[2] α=±2のとき, 直交する2本の接線はx=±2,y=±1|
863
NO
(複号任意) の組で, その交点の座標は
=-1
842
88-11+x20=1+
(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)
にある
円x2+y2=5
-√5
基本63
√√5
6754 11
-2 0
|-1
-√5 x 2 +4y²=4
判別式
P(a, b)
√5
2, x
(*) (b-ma) のまま扱うと,
計算がしやすい。
直交傾きの積が1
< 解と係数の関係
2次方程式
px2+gx+r=0 について
=-1が成り立つとき,
q^-4pr=q²+4p2> 0
となり、 異なる2つの実数
解をもつ。
[1], [2] から 求める軌跡は
68+(-3)
[参考] m の2次方程式 ① が異なる2つの実数解をもつことは, 楕円の外部の点から2本の接線が
引けることから明らかであるが (解答の図参照), これは次のようにして示される。
D'
mの2次方程式 ① の判別式をDとすると 2/2=(ab)²-(4-q²)(−62+1)=a²+46²-4
点Pは楕円の外部にあるから
4
+46²4(>が成り立つ理由はか.125 参照。) ゆえに D'>0
なお、一般に楕円の直交する接線の交点の軌跡は円になる。この円を準円という。
に接する2本の直線
2章
8
2次曲線の接線
