Question

ぴひょ

（2）の解説をお願いします。（1）をどうやって使おうか、などの思考の流れが知りたいです。

13 次の問に答えよ。
(1) 次の条件 (*)を満たす3つの自然数の組(a,b,c) をすべて求めよ。
(*) a<b<c» + + ===// ²0
1 1 1
a b C
である。
(2) 偶数 2n(n≧1) の3つの正の約数か.q.rpgとptgtr
= n を満たす組 (p,q,r) の個数をf(n) とする。 ただし、条件を満
たす組が存在しない場合は, f(n)=0とする。 nが自然数全体を動く
ときのf (n) の最大値 M を求めよ。 また, f(n) = M となる自然数nの
中で最小のものを求めよ。

72 2017 年度 数学<解答>
は起こり得ないことにも注意しておこう。
3
解答 (1) 0<a<b<cから
よって
1
1
1 1
+
a b C 2
よって
◆発想 (1) はよくみかける問題だから丁寧に解くとよいのだが.
これが (2)の一部となっている。 (2) は題意をとらえるのが難しい。
2n の正の約数 p q. rについて 2n を p.g. rで割ればそれ
ぞれ正の整数となると考えられれば,これを文字においてみれば、
(1) の方程式に一致することになる。
ゆえに, 2<a かつα<6. すなわち
したがって α=3. 4.5
(i) α=3のとき. (*) から
3<b<c かつ
すなわち
ゆえに
1 1 1 1 3
< + +
a
a b C a
このとき
よって
であるから
3<b<c かつ 6(c+b)=bc
1, 1
1
b c 6
1 13
a 2 a
(ii) α=4のとき. (*)から
-3<b-6<c-6 かつ (6-6) (c-6)=36
すなわち
4<b<c かつ b
b
(b-6. c-6)=(1. 36). (2. 18). (3. 12). (4.9)
1 1_1
C 4
2<a<6
(b. c)=(7. 42). (8. 24). (9. 18). (10. 15)
4<b<c かつ 4(c+b)=bc
1
名古屋大文系前期
名古屋大文系前期
このとき
ゆえに
0<b-4<c-4 かつ (b-4) (c-4)=16
(b-4. c-4)=(1, 16), (2, 8)
(i) α=5のとき. (*) から
よって
(b. c)=(5. 20), (6, 12)
5<b<c かつ
すなわち
よって
5<b<c かつ 10(c+b)=3bc
1 1 3
b C 10
5 <36-10<3c-10 かつ (36-10)(3c-10)=100
36-10=6.7.8 9 はいずれも100の約数でなく不適で. 36-10≧10
のとき. 3c-10≦10 が必要となり, これは6<cに矛盾。
(i). (i). (i)から
(a, b. c)=(3, 7, 42). (3. 8. 24). (3. 9. 18). (3, 10. 15).
(4.5.20) (4.6.12) ······ (答)
(2) p.g.rは2nの正の約数であり
2n
2n = b.
2n
p
q
r
とおくと, a, b,cは自然数となる。 すなわち
= a.
2n
2n
2n
p= ca. 9= b ' !
C
となるので, p>g>r かつ [p+g+r=nから
2n 2n 2n
2n 2n 2n
+
a
b C
a
b
C
0<a<b<c かつ
-=C
2017年度 数学 〈解答〉 73
r=.
かつ
+ -=n
1 1 1 1
+ +
a b C 2
これは(1)の(*) と一致し, (a,b,c) は(1) の結果と一致する。 このとき,
①から
2n n
n
(p. q. 7)-(27. 27. 21) (²7).
r)=(2n
3'4'12
n

74 2017 年度 数学<解答>
2n
3'99/
n
2n
2' 5'10
p.g.rがすべて自然数となる条件は、 上の6通りそれぞれについて
n が 21の倍数, 12の倍数。 9の倍数 15の倍数、10の倍数.
6の倍数
となることである。 nがこの6つの条件をすべて満たすとき.f (n) は最
大となり, (a,b,c) の互いに異なる組に対し, (p,q, r) も互いに異
M6...... ()
となる。このとき. nは
2n
<解説>
<整数方程式, 約数と倍数>
2n
q
(2) で .
2n
p
2n n 2n
(10).
= a.
の公倍数となるので、その中で最小のものは
2²x3²x5×7=1260 ······ (答)
3' 5' 15
n n
2'3'6
21=3×7. 12=2'×3. 9=3° 15=3×5. 10=2×5.
6=2×3
n
(1)
名古屋大文系前期
1 1, 1 1
+ +
a b c 2
-).
2n
=b. -=c とおけば, 与えられた条件は
r
0<a<b<c かつ
ここで、 (1)に帰着できることがわかっただけでなく, (1) が利用できるのだ
から,恐らくここまでの方針は正しいということも確認できる。 さらに,
f (n) の最大値 M. およびf (n)=M となるときのnの最小値を求めるの
だが,何が最大か､ 何が最小なのかを読み解いてみよう。
講 評
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例年, かなり難しい出題が続いているが, 2017年度はまた
一段と難しい問題であった。
① 3次関数の積分。 2次関数は対称式などが利用できるシ
ンプルな結果が多いが, 3次関数となるとそう簡単ではないだ
ろう。
② いくぶん考えにくいが､よく勉強をしてきた受験生にと
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