Question

もちびーむ

数A 1次不定方程式について質問です
1次不定方程式のような整数問題には解き方が１つではなく複数存在すると先生が言っていました。解き方としては、ユーグリッドの互除法を利用する解き方と利用しない解き方があると思います。
1枚目の写真では互除法を利用しないで解いてみました。自力で出したものです。係数の値が小さい場合はこの解き方で良いと思います。ですが、今回は23と数字が大きいので解説（3枚目の写真）では互除法を利用して解いています。
質問
①ユーグリッドの互除法を利用することが推奨されている（係数が大きい時？）は互除法を利用しないと正解には辿り着けないのか？　
→もし辿り着けるなら1枚目の写真の解き方で正解になると思う
②係数が大きく1組の整数解が簡単に見つからない時に互除法を利用する　に関して、簡単に見つからないというのは人によって裁量が違うと思います。①が辿り着けないという結論に至った場合、どのような時に互除法を利用したらいいのか。
③2枚目の写真は互除法を利用して解いたものです
1枚目も2枚目も完全に合っているというわけではありません。それぞれどこが間違っているのか。
　
文章にまとまりがないのですが、よく理解できていないので教えていただきたいです。お願いします

1次不定方程式
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1) 23x+8y=5
23:+8g=5...①
x=3、y=-8は①の整数解の1つである。
つまり 23.378(-8)=5... ②
①-②より23(x-3)+8(y+8)=0
23(x-3)=-80g+1)
23と8は互いに素であるからkを整数として表すと
2C-3=8k
これを代入すると
23.8k=
-
-23k
ytl
8(y+1)
23k=-(y+1)
ytl
23k
y=-23k-1
よって
2C=8k+3
y=-23k-1
(kは整数)

(1) 23x + 8y = 5₁₁₁ (
23=812+7
8 = 7₁1 +1
11
8-7
|
8 (23-82). I
8.3 +23.(-1)
両辺にちをかけて8.15+23.(-5)=5...②
移項すると
①-②から
23 (x - 15) + 8 (y + 5) = 0
23(x-15)
23k =
7=23-82
1=8-7·1
= = 8(y+5)
23と8は互いに素であるからKを整数として表
すと2C-15=8k
これを代入すると
2318 k =
- 23k
y + 5
y
-
-8 (y + 5)
-(y+5)
y+5
- 23 k
-23k-5
£₂2 x= 8k+ ls
y=-23K-5
(Kは整数)

(1) x=8k-5,y=-23k+15 (kは整数)
1組の整数解が簡単に見つからないときは,
ユークリッドの互除法を利用する。
解説 (1) 23x+8y=5
①
①の右辺を1とした方程式 23x+8y=1につい
て, x=-1,y=3はその整数解の1つである。
よって
23・(-1)+8・3=1
両辺に5をかけて 23 (-5) + 8.15=5 ...... ②
① ② から 23(x+5) +8(y-15)=0
すなわち
23(x+5)= -8(y-15)
(3)
23と8は互いに素であるから, x+5は8の倍数
である。
よってんを整数として, x+5=8k と表される。
これを③に代入して y-15-23k
したがって 求める整数解は
x=8k-5, y=-23k+15 (kは整数)
[参考 238に互除法の計算を行うと
23=8・2+7 移項すると 7=23-8・2
8=7･1+1 移項すると1=8-71010 (2)
よって1=8-7.1=8- (23-8・2)・1
=23.(-1)+8.3 SE