Question

Hi（受験生）

69.
なぜこの解き方では答えが求まらないのでしょうか？？
（指針ではOH･AB=0,OH･AC=0だと書いていますがOH･BC=0も成り立つと考えこれを用いて求めようとしました。）

基本例題 69 平面に下ろした垂線 (1)
00000
空間において, 3点A(5, 0, 1),B(4,20, 0, 1,5) を頂点とする三角形
ABCがある。 原点O(0, 0, 0) から平面ABCに垂線を下ろし, 平面ABCとの
交点をHとするとき, Hの座標を求めよ。
MOKE
LAANE
指針点 0 から平面ABCに下ろした垂線の足Hに対して,
点Hは平面ABC上にあり,かつ,直線OH は平面ABC に垂直である
ととらえて考える。
...
HOX-
外直線OH は平面ABCに垂直であるから、直線 OH は平面ABC
上のすべての直線と垂直である。
ただよって、OHA, OHAC
ゆえに OH・AB = 0, OH・AC=0
する単位べク
|解答
AB=(-1,2,-1), AC = (-5, 1,4)×0+0×S+(I−)×(1
①点Hは平面ABC 上にあるから, AH=sAB+tAC (s, tは実
CHONDRAL
114
60
数) (*) とおける。
ゆえに OH=OA+AH
$1-01x6
=OA+sAB+tAC
=(5,0,1)+s(-1, 2, -1)+t(-5, 1,4)
①00×
=(5-s-5t, 2s+t, 1-s+4t)・
OH (平面ABC) であるから
OH⊥AB から
OH･AB=0
よって
ゆえに
OHACから
2s+t=2
-(5-s-5t)+2(2s+t)−(1¬s+4t)=0
OH･AC=0
よって
ゆえに
② ③ を解いて
よって, ① から
......
-5(5-s-5t)+1・(2s+t)+4(1-s+4t) = 0
s+14t=7
OHLAB, OHLAČ
S=
7
9'
9
H(2, 2, 2) A
t=
-
(801)
A
C
x
TEL
ZA
HA4 C
OH
B
HO
重要 71
******
CA
SCORT!
B
(8)=(2004)+(A)+¹(SADA)
A
(*)
OH =LOA+mOB+nOC,
l+m+n=1として考えても
よい｡
(0)
487
2章
9 位置ベクトル、ベクトルと図形

例題69
H(xcY₁2) ET S
三角形ABCの平面と直線。は垂通なので
ABI OH, BOLOH, CALL Off
が成り立つ
(7
TAČ
TÄE (5:10)
Zarz
ABS at Be Lot CALOH = (₁
F
AB· OFF = 0 - 0
F
BO-OF÷O
Q
CA· αf=0 (3 p.: px | 22.
が成り立つ。
cca (1
AB = (-1₁2 ) =),
BC = (-4₁-1₁ 51.
CE = ( 5₁ - 1 ₁ - 4 /
of = ( x₁ 4₁2) 5²(₁
- Y
0 5 ²/₁ - 2 + 24 = 2 = 0
0²1₁ - 4x = 4
O-E
+ $ £ = 0 - Ⓒ
Fl. EX - Y = 4 * = 0 -(0)
(G

Answer 1

謎

なぜなら、得られるのは直線OHだからだ。

「ベクトルAB、ベクトルBC、ベクトルACに垂直」は「平面ABCに垂直」と等価である。

「平面ABCに垂直なベクトルOH」。 明らかに、点Hでの解は直線になることが予測できる。

グラフを見てみよう。 直線OH上で、任意の点H'をとり、その結果得られるベクトルOH'は、ベクトルAB、ベクトルBC、ベクトルACに垂直である。

方程式からx=y=zを解くことができる。
これは点(0,0,0)を通り、方向ベクトル(1,1,1,)を持つ直線である。

幾何学的観察でも代数的解法でも、結果が直線であることが確認できる。

平面ABC上にある点Hは、このステップだけでは当然得られない。

続けて

直線OHは平面ABCに垂直である。
つまり、直線OHの方向ベクトル＝平面ABCの法線ベクトル＝(1,1,1)

平面ABC上の点Aと法線ベクトル(1,1,1)を用いて平面ABCの方程式を求めよ。
(x-5)+(y-0)+(z-1)=0
x+y+z=6

直線OHと平面ABCの交点Hを求めよ。
x=y=z
x+y+z=6
連立方程式を解け。
x=2,y=2,z=2を得る。
H(2,2,2)

謎

P.S
この本の解答はベクトルOHをベクトルOAとベクトルAHに分解している。
ベクトルAHは平面上にあり、ベクトルABとベクトルACからなる。
これにより、点Hは平面ABC上にあることが保証される。
未知数s,tが2つあるので、この問題を解くには2つの方程式が必要である。 そのために「ベクトルの垂直関係」を2回利用する。

この問題を解くより簡単な方法は、外積を直接解いて平面ABCの法線ベクトルを求めることである。
しかし、外積について習ったことがあるかどうかわからない。