Question

苺大福

この問題の解説お願いします🙇‍♀️

発展問題
/ 135 多項式P(x) を (x-1) で割ると余りが 4x-5, x+2 で割ると余りが-4
である。 このとき, P(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの余りを求めよ。
ヒント ---
133 (1) x=√2-1 から, x+1=√2 の両辺を2乗して整理すると x+2x-1=0
134 (3) x 2.2で割り、割り算の等式を作る。
135 P(x) を (x-1)^(x+2) で割ったときの余りを, 更に (x-1)2で割る。

2x-7x2+8x-8=(x-22x²-4x+2)-5
ゆえに
=(2x-3)(x2-2x+1)-5
商x2-2x+1, 余り -5
指針
135
等式 P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+R(x) を作る。
(R(x)はax2+bx+c と表される)
(x-1)(x+2)Q(x) は (x-1)2で割り切れるか
ら、 R(x) を (x-1)2で割ったときの余りは,
P(x) を (x-1)2で割ったときの余り (=4x-5)
と一致する。
よって
R(x)=ax2+bx+c
=a(x-1)2+4x-5
あとは,αの値を求める。
P(x) を (x-1) 2(x+2) で割ったときの商をQ(x)
とする。
このときの余りは、 2次以下の多項式または0で
あるから, ax2+bx+c (a,b, cは定数) とおけ
る。
よって P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax²+bx+c
更に, P(x) を (x-1)で割ると余りが 4x-5で
あるから
P(x)=(x-1)2(x+2)Q(x) +a(x-1)2+4x-5
******
と表される。
P(x) を x+2で割ると余りが 4 であるから
P(-2)=-4
また, ① から P(−2)=9a-13
よって
9a-13=-4
したがって、求める余りは
(x-1)2+4x-5 すなわち x2+2x-4
■指針■
別解
等式 P(x)=(x-1)'Q(x) +4x-5を作る。
Q(x) をx+2で割ったときの余りを する
とQ(x)=(x+2)Q2(x) + r と表される。
ゆえに
a=1
これを①に
P(x)=(x-
=(x-
ここで, P(x
るから
P
また、②から
よって
これを②に
P(x)=(x-
9r
=(x-
ゆえに、求め
136 (1) 移項
左辺を因数分
よって
ゆえに
X=
(2) 左辺を因数
(3:
3x
よって
ゆえに
X
x=
(3) 左辺を因数
よって
ゆえに
x=
(4) 左辺を因数
よって
ゆえに
x=
(5) 左辺を因数分
よって
x²_
ゆえに
137 (1) P(x)=
P(1) =
よって, P(x)
を因数分解す