Question

ゆーき

（整数）
自分の回答（2ページ目）の？マークを付けた部分、結局背理法でこれは証明出来ていますか？
a,bの偶奇が異なることは言えたと思うのですが、cが奇数が言えたか自信がないです。

教えてください🙇‍♀️

7.2
例題
a,b,cはどの2つも1より大きい公約数をもたない正の整数とする.
a,b,cがa^²+b2=c2を満たしているとき,以下の問に答えよ.
(1) c cは奇数であることを示せ.
(2) α6のうち一方だけが3の倍数であることを示せ .
【解答】
(1) 任意の整数は, 2k, 2k+1 (k: 整数) の形で表され,
(2k)² = 4k², (2k + 1)² = 4( k² + k) +1.
①
a,bは1より大きい公約数をもたないから, α, 6のうち少なく
とも一方は奇数である.
a,bがともに奇数であると仮定すると, 1① より,
α²=4A+1,62 = 4B + 1 (A,Bは整数)
と表せこのとき,
c² = a² + b² = 4(A+B) +2
となり,① に矛盾する.
よって,α, b は偶奇が異なり, cは奇数である.
(2) 任意の整数は,3L,3l±1 (Z: 整数) の形で表され,
(31)² = 3(31²), (31±1)²=3(31²±21)+1 (1500). (2)
a,bは1より大きい公約数をもたないから, α, 6のうち少なく
とも一方は3の倍数でない.
a,bがともに3の倍数でないと仮定すると,②より、
d'=3A' +1,62=3B' + 1 (A', B'は整数)
と表せこのとき,
c²=a² + b² = 3(A' + B') +2
となり、②に矛盾する.
よって,a, bのうち一方だけが3の倍数である.
◎制余を使えるように
任意の整数を偶奇分けしておく。
すべての整数nに対して,n2
を4で割った余りは0または1
である.
背理法を用いる.
すべての整数nに対して,n²
を3で割った余りは0または1
である.
76
背理法を用いる.
平ち剥余

7.2
く方針
Cは奇数 ④ Q.b.Cは互いに素正の整数
+6³² = c² ₁ + 1*²1²
背理法
平方剰余
L①mを偶分け②m²
(1) 「Q.b.cは互いに素な正の整数」
a² + b² = c² @
任意の整数は
Sak
(k:整数)
gkt1
の形で表され
S(2kj²=4k²
①
(2k+1²=4(1²+k)+1
①50、a,bの少なくともーちは奇数
a.b共に偶数と仮定する(背理法)
Q²=4A²,6=4B² (A,B:正の整数)
((木)より)
偶数
1⑥のかんけい
⇒ C=4(A²+B2)
→cは偶数となり①に推
よって、a,bの偶合は異なり、Cは奇数②

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

BaSO4

証明できてないと思います。
a,bともに偶数と仮定した時点て①には反しています。なのに、cが偶数なので①に矛盾していると言っても、そもそもの仮定が条件に反してるんだから当たり前でしょってなっちゃうので

ゆーき

ですよね、①に矛盾していると言っても、仮定で矛盾しているように仮定したので、矛盾を導けてないですよね。
回答の方だと、①（回答の写真の①）に矛盾しているのでa,bの偶奇が異なると示せたことは分かったのですが、それでcが奇数だと示せるのは何故でしょうか？

ゆーき

あ、a,bの偶奇が異なるなら、条件からa,b,cは互いに素なのでcが奇数とならなければいけないからですか？

BaSO4

模範解答の方は「a,bが偶奇」→「(cが偶数だとaかbと互いに2で割れてしまうから)cは奇数」って求め方してますね。

ゆーき

なるほど、つまりa,bが偶奇ならばcが奇数だと、a,b,cが互いに素だから決定出来るんですね。
ありがとうございます😊

BaSO4

蛇足でしたらすみませんが念のため
a,bが偶奇でcが奇数だとa,b,cが互いに素
とは必ずしも言えなくて、
a,b,cが互いに素でa,bが偶奇ならcは奇数しか無い
って感じです。

ゆーき

なるほど、確かに！
ありがとうございます🙇‍♀️勉強になります！