Question

Hi（受験生）

1枚目のan≠0となる証明は理解できたのですが、
2枚目のa1=1>0、an+1=2√an>0より全ての自然数はnに対してan>0であるのはよくわかりません。また、「ーに対してan>0」ってどう言う意味なのでしょう？？

基本例題 119 an+1=
ST
によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
[類 早稲田大〕 基本116
2
an+1=
指針 漸化式 αn+1=
an
4an-1
an のように,右辺の分子が α の項だけの場合の解法の手順は
panta
① 漸化式の両辺の逆数をとると
答
CHART 漸化式 an+1=
an+1=
1=b, とおくと bn+1=p+qbn
an
an 型の漸化式
bn+1=b+▲の形に帰着。
p.560 基本例題 116と同様にして一般項 bn が求められる。
また,逆数を考えるために, an=0(n≧1) であることを示しておく。
ところが α=
panta
したがって
an
...... ① とする。
SORTIO
4an-1
① において, an+1=0 とすると α = 0 であるから, an=0 とな
るnがあると仮定すると
an-1=an-2==q=0
an=
1
a₁=²/²/² ( (0) であるから,これは矛盾。
よって,すべての自然数nについて αn≠0 である。
① の両辺の逆数をとると
1
an+1
an 両辺の逆数をとる
panto
1
bn
9
-=-=
an
an+1
=4-
bn+1=4-bn
an
bn+1-2=-(bn-2)
1 = b とおくと
an
これを変形すると
また
1-2=5-2=3
b1-2=-
a1
ゆえに,数列{bn-2} は初項 3,公比 -1 の等比数列で
bn-2=3.(-1)
すなわち bn=3・(-1)"'+2
1
3.(-1)"¹+2
19 00000
Egon
an=05
an-1=0
これから an-2=0
以後これを繰り返す。
33d=
逆数をとるための十分条件。
1
an+1
THO
Jia Il si
◄bn=
4an-1
an
特性方程式
α =4-α から α=2
an
bn=0
という式の形から
565
3章
15
漸化式と数列
で
, n).
き
き
q
数
c)dx
)に

重要
例題120 anti = pa" 型の漸化式
an+1=
a=1, an+1=2√an で定められる数列{an}の一般項を求めよ。
指針 α に √がついている形, an² や an+13 など 累乗の形を含む漸化式 an+1=pan"の解法
の手順は
VER
① 漸化式の両辺の対数をとる。αの係数に注目して,底がぁの対数を考える。
1
10gpan+1=10gpp+logpang
loge MN logcM+loge N
すなわち 10gpan+1=1+glogpan
-logeM=klogcM
②2 10gpan=b とおくと
bn+1=1+gbn
bn+1=b+▲の形の漸化式 (p.560 基本例題 116のタイプ) に帰着。
このとき,(真数) > 0 すなわち an>0であることを必ず確認しておく。
27
CHART 漸化式 an+1= pan" 両辺の対数をとる
ゆえに
解答
a=1>0で, an+1=2√an (0) であるから, すべての自然数
n に対して an>0である。
よって, an+1=2√an の両辺の2を底とする対数をとると
10g2an+1=10g22van
log2an+1=1+ -log₂ an
2
bn+1=1+
1 + 1 1/2 b ₂
10gzan=b とおくと
これを変形して
ここで
←
←
n-1
b₁-2=-2 (-/-)²-¹
したがって, log2an =2-2から
andn+ を含む漸化式の解汁
b₁+1-2=2(b₁-2)
-(bn−2)224
bx-2=10g21-2=-2
よって, 数列{bn-2} は初頭-2,公比 の等比数列で
すなわち b =2-22-n
an=22-2-
00000
[類 近畿大〕
基本 116
25
27500 1#
60+, JWCSSON
STAHO
S
> 0 に注意。
厳密には,数学的帰納法で
証明できる
log₂ (2.anz)
2 log22+log2an S
■特性方程式 α=1+1/2 を
解くと α=2
1 \n-1
" =21-n
HA EU loga an=pan=a²
n
bn+y
6%

Answer 1

あやたか

x>0とするとき、√x>0となり、
√xに2をかけたとしても、2√x>0となります。

このように考えると、
①a1>0より、a2>0
②a2>0より、a3>0
・
・
③an-1>0より、an>0
③an>0より、an+1>0
となり、全ての自然数nにおいて、an>0が成り立ちます。

「全ての自然数nに対してan>0である。」を言い換えると、nがどんな自然数であっても、an>0である。ということです。

Hi（受験生）

返信遅れました。
理解できました、ありがとうございます。
つまり、根号条件よりan>0だから①→②→･･･
となるわけですね！
またa1>0、an+1=2√an>0より全てのnにおいてan>0である、という記述でも問題ないですか？？

あやたか

はい！問題ないと思います！！