Question

ふぃり

積分の計算です。数学得意な方お願いします。
Sはこんな解き方しかないのでしょうか？
とても自力では思い付かないような気がするのですが、、

1+√2
よってS=['+' (f(x) - g(x)}dx = 2f1+/x √2-(x-1) dx
1-√2
1-√2
x-1=t とおくと dx=dt
したがって
S=2√√₁_ √2—t² dt =2. ^(√²)²
2
=2π
Sva-xdxは半径①の円の面積の 1/23 にしい。
-
x
t
1−√2 → 1+√2
-√2
√2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

Sの計算は｟注意｠の所に書いてある通り、円の面積を表すので簡単に求められます。
これがすぐに思いつかない場合は、√(a²-x²)を含む積分はx=asinθと置換することが定石なので、
x-1=√2sinθと置換して解くことができます。
かなり計算は面倒ですが、これでも解けます。

ふぃり

ごめんなさい、前文が抜けてました😭
∫(1+√2→1-√2) -x^2+2x+1 dxというもので、a^2-x^2と変形しないと解けないのでしょうかという質問です！主旨が違くなってしまって申し訳ございません、、

希

なるほど、そうでしたか。
√の中に2次式がある場合の積分は、√の外に1次式があるタイプとないタイプに分けられます。
外に1次式がかけられている場合は√の中をtなどと置換することで解くとができます。
しかし、今回の積分は√の中に2次式があるだけの積分です。この時は平方完成してもらって、a²-x²の形を作るしかないです。初見では難しいですが、慣れる必要があります。

ふぃり

なるほどです！！前にも似たような問題があって違和感を覚えたので凄く納得しました😭
希さんに今年沢山お世話になりました…本当に毎度回答ありがとうございます。
また近いうちにお世話になるかもしれませんが良いお年をお過ごし下さい🐉💚