Question

ひきわり

例題3-6の(1)についてです。
解答とやり方が違いますが、自分の答案は良いのでしょうか？
もし間違いがある場合、その間違いも教えていただきたいです。
よろしくお願いします🙇

(1543-6 DE ° Alla |ZED +'ll lim xa- lim A.X
al
26-700 px x 700 ex
.... = lima!
X-700 ex
=
0

●
例題3-6 (ガンマ関数 ベータ関数)
実数 5>0 について(s)=f'e 'x'-'dx とおく。 次の(1), (2) を証明せ
(2)
① lim
xa
100 ex
0 (ただし,α は実数)
[解説] 次の2つの広義積分は応用上重要な関数である。
ベータ関数 B(p, g) = Sex-(1-x)"'dx (p> 0, g>0)
't
ガンマ関数 I(s) = flexdx (s>0)
いずれも収束する広義積分である。
xa
ex
X→∞
[解答] (1) limlog -=lim (logx-loger) 対数の極限を調べる。
x→∞
=lim(alogx-x)=limx|a
xa
よって, lim-
x→∞ ex
= 0
x→∞
logx
X
(2) T (s+1)=sT' (s)
(証明終)
1)
=-
8
logx
lim-
(注)
x→8 x
=
:0
29

数学 大学編入数学 ガンマ関数 ベータ関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

ひきわり様
ひきわり様の解答だと a=√2 や a=π のとき、ロピタルの定理がエンドレスになるので
多分、まずいです。模範解答のようにするのが最適です。あるいは、 a=π であれば、
3<π<4 から x^3<x^π<x^4
∴(x^3)/(e^x) < (x^π)/(e^x) < (x^4)/(e^x)
あとはひきわり様の方法で (x^3)/(e^x) → 0 , (x^4)/(e^x) → 0 としてはさみうちの原理を使う手も
考えられますが、この方法だと a=0 のとき x^a→∞^0 自体が不定形でよく分からなくなります。

ひきわり

なるほど。
ご指摘ありがとうございます。

ちなみになのですが、模範解答のように対数をとるという発想は、どこからくるのでしょうか？
もしこの対数をとろうと思った根拠が問題にあるなら教えていただきたいです🙏

Take

「べき乗の関数は対数をとってから考える」です。なお、その際には真数条件にも気を付けてください。
あと、ロピタルの定理は使うと零点にする先生もあるくらいです。ロピタル以外の方法でやるとすれば、
やはり、対数をとる、だと思います。
回答になったでしょうか。

ひきわり

大変役に立ちました。
ありがとうございます！