Question

トッティー

帝京大学 過去問 数学
解説をお願いしたいです。どなたかよろしくお願いします🙏

〔3〕次の
解答が分数となる場合は既約分数で答えること。
図のような四角形ABCD において, AD =√3, ∠BAD = 105° ∠ ABD = 60°,
∠BCD = ZBDC
75° であるとき,
BD の長さは
にあてはまる数を求め, 解答のみを解答欄に記入しなさい。 ただし,
ただし,
ア
=
ア
また, 四角形ABCDの面積は
+
2
< イ
イ
I
とする。
ACの長さは
オ
+
2
A
B
ウ
である。
105°
60°
である。
75°
D
75%
C

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

△ABDについて、正弦定理より、AD/sinB＝BD/sinA　⇒　BD＝ADsinA/sinB＝√3sin105°/sin60°
sin105°＝sin(60°+45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝(√3/2)(√2/2)＋(1/2)(√2/2)＝(√6+√2)/4
BD＝√3{(√6+√2)/4}/(√3/2)＝(√6+√2)/2
よって、ア：2、イ：6

∠A＋∠C＝180°なので、A、B、C、Dは同一平面上にある
∠ADB＝15°、∠ADC＝90°、∠ACD＝∠ABD＝60°、∠CAD＝30°なので、CD：AD：AC＝1：√3：2
CD＝1、AC＝2
よって、ウ：2

□ABCD＝△ABC＋△ACD
BDのときと同様に正弦定理と加法定理を使ってABを求めると、AB＝(√6－√2)/2
また、BC＝BD
△ABC＝AB×BC÷2＝{(√6－√2)/2}{(√6+√2)/2}/2＝1/2
△ACD＝AD×CD÷2＝√3×1÷2＝√3/2
□ABCD＝(1+√3)/2
よって、エ：1、オ：3

トッティー

ありがとうございます！