Question

すずお

数Ⅱの整式の問題です。
（２）の下の方で、なぜA²−B²が(x-1)²で割り切れるのは、A+Bが(x−1)²で割り切れる場合なのですか？A-Bが(x−1)²で割り切れる場合はだめなんですか？

例題 2 センター試験本試
a,bを実数とし,xの整式 A,BをA=x²+ax+b, B=x2+x+1とする。た
だし, AとBは等しくないものとする。
(1) 等式 A'+B2=2x+6x3+3x2+cx+d が成り立つとき
b=-1
ウ
1/14-
である。
(2) 等式
a=
となる。
ア
A'-B'=(A-B)(A+B)
a
={(a-1)x+(b-1)}{オ
1x² + (a+
カ ])x+6+1}
を考える。 A-B がx-1 で割り切れるのはキのときであり,また
A+B がx-1 で割り切れるのはクのときである。 よって, A-B と
A+B が同時に x-1 で割り切れることはない。 ただし,キ ク
については,次の⑩~④の中から当てはまるものをそれぞれ1つずつ選べ。
⑩ a+b=0
① a-b=0
② a+b-2=0
③ a+b+4=0 ④ a-b-2=0
したがって, A'-B' が (x-1)' で割り切れるのは, A+B が (x-1)' で割
り切れる場合である。 このとき
b=3
解答
(1) A=x2+ax+b, B=x2+x+1 より
A2+B2
C=
=(x^2+ax+b)^+(x2+x+1) 2
= (x¹+a²x² +b²+2ax³ +2abx+2bx²)
=2x^+2(a+1)x+(a²+2b+3)x2
A'-B'=サシス x(x-1)2
+(x^+x2+1+2x+2x+2x²)
d = I
+2(ab+1)x+62+1
となるから, A'+B'=2x+6x3+3x² +cx+d が成り
立つとき

(2(a+1)=6
a²+2b+3=3
2(ab+1)=c
|b²+1=d
となる。 ①より
よって, ②より
ゆえに,③,④より c=-6, d=5 答
(2) A=x2+ax+b, B=x2+x+1 より
A-B=(a-1)x+6-1
A+B=2x²+(a+1)x+6+1
となるから
a=2 答
b=-2 答
A'-B'=(A-B)(A+B)
={(a-1)x+(b-1)}{2x²+(a+1)x+b+1} 巻
(5)
となる。 A-B が x-1 で割り切れるのは、因数定
理より
(a-1)+6-1=0
..a+b-2=0
のとき (②) である。
答
また, A+B が x-1 で割り切れるのは、因数定
理より
2+(a+1)+6+1=0
‥. a+b+4=0
∴.a=-5,b=11
このとき, ⑤ より
第1章: 整式・高次方程式
A'-B'=-6x2(x2-2x+1)
=-12.x(x-1)^ 11 (
各項の係数を比較する。
のとき (③) である。
答
よって, A-B と A+Bが同時にx-1で割り切れ a+b-2=0 と
ることはなく, A-B2 が (x-1)^ で割り切れるのは, a+b+4=0 は
A+Bが (x-1)2で割り切れるときである。 ここで
A+B=2(x2-2x+1)+(a+5)x+6-1
と変形でき, A+B が (x-1)' で割り切れるとき
a+5=0, b-1=0
(a-1)x+b-1_k_x=1
を代入すると0になる。
2x2+(a+1)x+6+1 に
x=1 を代入すると 0 に
なる。
同時には成り立たない。
A+B を (x-1)2 で割る。
1
整式・高次方程式
2
1-2x+21² +a+1)x+b+1
2x²-4x+2
a+5x+b-1
0"

数学 高次方程式 数ⅱ