Question

あや

演習β 36回 2(1)
赤マーカー部分がどういうことか分かりません💦
また、なぜ青マーカーのようになるんですか？

+
↑
2 [2011 岡山大]
pを定数とする。 f(x)=x+x2+px+1 とおく。 y=f(x)のグラフに傾き1の2つの異
なる接線が引けるという。
(1) の範囲を求めよ。
(2) 2つの接点のx座標をα, βとする。(α--β)2 をを用いて表せ。
(3) 2つの接線のy軸との交点をA,Bとするとき, 線分ABの長さをを用いて表せ。
(4) 2つの接線の間の距離が27 となるようなの値を求めよ。
(1) f(x)=x2+x2+px+1から f'(x)=3x+2x+p
よって, y=f(x)のグラフ上の点t, f(t))における接線の傾きは
f'(t)=3t2+2t+p
ここで, 3次関数y=f(x)のグラフが1本の直線と相異なる2点で接することはない。
したがって, y=f(x)のグラフに傾き1の2つの異なる接線が引けるための条件は,
についての2次方程式f(t) = 1 すなわち
3t2+2t+p-1=0
が相異なる2つの実数解をもつことである。
D
① の判別式をDとすると
......
よって
12-3(p-1)=4-3p>0
ゆく言
これを解くと
(2) α, は ① の2つの実数解であるから, 解と係数の関係より
p-1
a+ß = = ²3², aß= P = ¹
3'
3
******
(a − p)² = (a + p)² - 4xß = (-²)²-4.¹ (4-3p)
2\2
p-1
・4・
3
3
4
9

微分積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

赤マーカーは三次関数の一般論です。
4次以上の関数だと接点を2つ持つような接線が引けたりしますが三次関数はそのような接線を持ちません
なので赤マーカーが言えます

また、青マーカーはそこで止めると意味が通りません。その下と合わせて「f'(t)＝1(すなわち〜)が相異なる2つの実数解を持つ」という主張をしています。
赤マーカーで説明した通り、4次関数だと「」の主張が成り立っていても、その2つの実数解tが同じ直線の接点を表している可能性が出てきます。
3次関数なら「」が成り立つ時、赤マーカーからtはそれぞれ別の直線の接点を表していることになるので、傾き1の2つの異なる接線が引けます。

あや

ありがとうございます！！