Question

じゅんた

Z会の理系数学入試の核心 標準編 133番の(3)で、どうしてこのグラフになるのかと、積分の区間が、0→π/3から、0→1/√3 にどうやったら、変化するのかわかりません。

133 Lv.★★★
t=tan - とおく
2
このとき,次の各問に答えよ。
dt
(1) をtを用いて表せ。
dx
(2) cosx をtを用いて表せ。
(3) 曲線 y=
1
COS X
面積Sを求めよ。
解答は206ページ・
........
CHIL
と2直線x=0,x= およびx軸で囲まれた部分の
グラフの書き方
(山形大)

206
第13章 微分法・積分法(数学ⅡI)
133 置換積分法 Lv.★★★
考え方
問題の誘導に従い, 三角関数の定積分を置換積分法によって分数関数の定積分
に直して計算すればよい。
tan i=tのとき tan.x =
解答
(1) t = tan 12/1より
x
(2) cosx = 2 cos².
2
y
dx
dt
よって, 求める面積は
S
dx
dt
dx
1+t² 2
1-t² 1+t²
1
COS X
1
1-t
2t
1−{2, COSx=
i1=2・
1=
答
(3) 問題の部分は右下図の斜線部分である。 (1), (2)より
JANE
YA
S = √³ y dx = √²
S=[log(1+t)_log(1-t)
√3+1
=10√3-1
COS x
cos²x
1
COS 2
y dx dt
dt
核心は
ココ!
1
1+t²
=log (2+√3) 答
1
2
x
2
-dx =
1-t²
1+t'
1+t2
2
1-t²
1+t²
2
LS)
sinx=
答
TTTTTTT3
+
π π
32
2t
1+t2
研究 COSx, sinx の逆数の積分は次のように計算してもよい。
01/120
=S²
Odx
COSx
COS x
1/11 (1
2. 1+sinx 1sinx
x
問題は54ページ・.
Process
t = tan
an/1/2のとき
求める
t = tan
an 12/08 の のとき COSx
をtで表す
x
t = tan と置換して定
2
積分を求める
1/12 (log|1+sinx-log|1-sinx)+C (Cは積分定数)
2
dt
h
SINA 三角関数の積分は
XC
t=tan- と置換するのも一手
2
CANON J
134 極限で
考え方
S. 5
ある。
解答
(1) f(x
0<x<1の
f(x)
x=1のと
f (1
x>1のと
fn
( 2 ) 関
x
すなわ
が成り
(3)
1²
J
した

微分 積分 微積 数3

Answer 1

mi-

tを用いて置換積分をしているので、xの範囲が0からπ/3であるのでt=tanx/2と置換すると、tの積分範囲について考えるので0から1/√3となります。