Question

シャイニ－

別解においては z+1/z^2 が実数である条件に|z|=1を組み込んでいるのでそのまま式変形したら二つの条件を満たす解が出てくると思います。 もう一つの方は |z|=1よりzzー=1 を使ってz+1/z^2 が実数である条件に|z|=1を組み込んでいるのにそのまま別解のように解が出ないのは何故ですか？

別解ではない方は二つの条件を満たす解が素直に出てこない理由が知りたいです。

類 東北学院
は条件を
3
=z-3
a-B|=1
上の3点
が2の正
2√3
重要 例題
5 複素数の実数条件
z+1
学院大学
絶対値が1で ,
指針>
z+1
解答
すなわち
両辺に(z) を掛けて
よって
|z|=1 より zz=1であるから z+z²=2+(z)²
ゆえに
zzz(z)=0
なお,よって
を掛けてゆえに
よい。
複素数 αが実数⇔ α =α
を利用する。
(2+1)=2+1 から得られるz, えの式を,|2|=1 すなわち=1 を代入することで簡単
121=1
→
にする。 なお、 z=1から得られる z=- またはえ=1/2 を利用し,zのみまたはえのみ
の式にして扱う方法も考えられる。
が実数であるための条件は
z+1_z+1
[1] z-z=0のとき
α+β [1][2] から
65
この方程式を解くと
練習
が実数であるような複素数zを求めよ。
別解 zz=1から
(z_z) (1+z+2)=0
zz = 0 または 1+z+z=0
z=±1.
A
z+1
x=
z²(z+1)=(z)²(z+1)
2.2z+2²=2.2z+(z)²
2
別解
Z=2
よって, z は実数であるから, |z|=1 より
z=±1
[2] 1+z+z=0のとき 2+2=-1&dtß = ~
また, z=1であるから, z, は2次方程式x2+x+1=0のx²-(和)x+(積) = 0
解である｡
dB=~
-1±√√3i
2
==
2
2+2²=2+1
−1± √√1²-4∙1
2･1
z+1
22
よって
-1± √√3 i
2
z+1
ゆえに, Aは
よって
これを解いて z=±1,
· 121=1==122=1&11711172 (2+1) = 2#12 #1112113
ztl ztl
Z2
両辺に2を掛けて
(z+1)(z-1)(z2+z+1)=0
-1±√3i
2
αが実数⇔ α =α
(B)=²₁ a²=(a)²
00
z-z+(z+i)(z_z)=0
α, β が複素数のときも
αβ = 0 ならば
= 1/2 + ( ²¹2 ) ² = ²²
基本2
が成り立つ。
α = 0 または β=0
=2+z
2³ (2+1)-(2+1)=0
12³-1
z2z(z+1)=z+1
解の公式を利用。
ZZが解となっているがつに仕え
という複素数がに11,ERS
満たしてるのでその手ま答えになる
つまり、変形した式ははにし、基E脂満たす複素数の式
絶対値が1で、2-zが実数であるような複素数zを求めよ。
=(z-1)(z2+z+1)
17
1章
複素数平面
[類 関西大]
(p.18 EX6