Question

Hi（受験生）

116.4
a^2019を7で割り切れないのは3^2019
であることを示してから、
2019を3で割る作業を続けても◯だと思いますが、
下の方[3^3≡6(mod7),6^2=1(mod7)]を用いた方が
効率的ですよね？
また、記述的にはどちらを書いても◯ですよね？？

lines
486
00000
基本例題 116 割り算の余りの性質
a,bは整数とする。 α を7で割ると3余り, 6を7で割ると4余る。このとき、
次の数を7で割った余りを求めよ。
(1) a+2b
(2) ab
(3) aª
p.485 基本事項 ① ③3
指針 前ページの基本事項③の割り算の余りの性質を利用してもよいが, (1)~(3) は、
161704
a=7g+3,6=7g' +4 と表して考える基本的な方針で解いてみる。
(3)(7g+3)* を展開して,7×の形を導いてもよいが計算が面倒。 d'=(a)2 に着目
し,まず, a²を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。
【CHART 割り算の問題
(4) 割り算の余りの性質 4α” をmで割った余りは, r” をmで割った余りに等しい
を利用すると,求める余りは 「32019 を7で割った余り」であるが,32019 の計算は不可能。
このような場合、まずα” を m²で割った余りが1となるnを見つけることから始める
のがよい。
A=BQ+R が基本
(割られる数) = (割る数)×(商)+(余り)
解答
a=7g+3, b=7g' +4 (g, g′ は整数)と表される。
(1) a+26=7g+3+2(7g'+4)=7(g+2g') +3+8
=7(g+2g′+1)+4
したがって, 求める余りは 4
(2) ab=(7g+3)(7q'+4)=49gg'+7(4g+3g′)+12
=7(7gg'+4g+3g' + 1 ) +5
したがって 求める余りは 5
(3) a²=(7q+3)^=49g²+42g+9=7 (7g²+6g+1)+2
よって, d²=7m+2mは整数)と表されるから
α^=(a²)²=(7m+2)=49m²+28m+4=7(7m²+4m)+4
したがって 求める余りは
4
(4)
を7で割った余りは, 3°を7で割った余り6に等しい。
よって, (a)2=a を7で割った余りは, 62=36を7で割った
余り1に等しい。
a2019a2016
(α6) 336.3であるから, 求める余りは,
1336.6=6を7で割った余りに等しい。
したがって 求める余りは 6
(4) 2019
練習
②②
2 116 き,次の数を5で割った余りを求めよ。
(1) 6
(2) 3a-2b
(3) 62-4a
別解 割り算の余りの性質を
利用した解法。
(1) 2を7で割った余りは
2 (27.0+2) であるから,
a,bは整数とする。 αを5で割ると2余り, d²-b を5で割ると3余る。 このと
26 を7で割った余りは
2・48を7で割った余り1
に等しい。
ゆえに, a+26を7で割っ
た余りは3+1=4を7で
割った余りに等しい。
よって、求める余りは 4
(2) ab を7で割った余りは
3・4=12を7で割った余り
に等しい。
よって、求める余りは 5
(3)α を7で割った余りは
3* = 81 を7で割った余り
に等しい。
よって, 求める余りは4
(4) 299
(p.491 EX81 )

例題116
xa=
7m+ 3 (m): 2.
t
@2019 = ( 7m + 3 / 2019
= 1019
£2
(7m poc9 + 2019-317m pora
+ ... + 7m. 320/2 + 3 2019
a 2019
を割り切れないのは32019
5
3³
2α+ 4 3 ³ = 7 × 3 + 6
LEA 2 0 2019 7 7 2²-1₂ 1-1²) 12 6
= 3 (mod 7) fil
32019 = 3673 = 3224² - 3 = 3²4-3²³ = 3²² 3² = 3 ² = ²3³ (mod 7 ) 243
673
q
= 6 ( mod '7), 6 ² = 1 ( mad 7 ) + ²/
f
3³²= 6² = f( guod 7 ) 2.0 802.
16
3 2019 = (36)
3
3² ( mod(); 74 5/234 3/675
7)
25
224
2₁. & 1 2 7 2 7 2 1 1 2 1 : 22a #² ) 1763/77
11-11₁ 2 7 9 3 4 ) 12 6 4
21
17
TE
ix
2
312019
If
10
2
15 ►
B
R
30